Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
X |А
(здесь Р является перестановкой, a R — вращением). Из функций фх]х пространственных координат можно образовать функции фх всех координат, которые также являются собственными функциями оператора Н0. Функции фхи/^, как и фх , удовлетворяют соотношениям (22.21); поскольку Р не действует на спиновые координаты, спиновые функции могут рассматриваться в (22.21)
как постоянные.
Функции фХ(1/^ должны также принадлежать некоторому представлению группы вращений относительно операторов Or, так как одно лишь введение спиновых координат не нарушает равно-
Тонкая структура спектральных линий
309
правности пространственных направлений. Действительно [см аналогичное соотношение (22.9)],
ОДчЛт = РЛ, • (22.22)
и в этом соотношении функции Р^ф можно выразить через пользуясь соотношениями (22.21); в то же время можно
выразить через /<?) — как и всякую функцию от s. Определим теперь эти коэффициенты.
Если выразить через то НУЖН0 использовать
только те которые также принадлежат Х-й строке представ-
ления A(S\ так как Q# является оператором, симметричным относительно перестановки переменных 5 и (в противоположность Qp) не меняет трансформационных свойств функций Поэтому
будем иметь
<V12= 2 ®lS|<*WS <m=-s, -s+i...........................s-i.s).
m ss —5
(22.23)
Кроме того, поскольку ОдСХя'= ± Qw?'. матрицы ?>(S)(/?) образуют (25+1)-мерное (однозначное или двузначное) представление группы вращений. Как сейчас будет показано, это представление является неприводимым представлением ?>(S)(/?).
Пусть R— вращение на угол а вокруг оси Z. Тогда
<VSS(*........*„)=,2,¦¦¦ ,, ••• Л2('.......'.)=
fp = ±1 2 У 2 Р
=,2 VW,.....‘.)=
Р
= е
t=± 1
.....sJ, (22.24,
°Am{Sl----------Sn) = e + ima/^(Sl.......S„)>
где мы полагаем m = +s2 + ... + s„), поскольку, со-
гласно (22.14), функция наверняка обращается в нуль для других наборов значений s. Для R = {а, 0,0} представление в (22.23) является диагональной матрицей с диагональными элементами
ехр {—/5а}, ехр {— /(5— 1)а).........ехр {+/(5— 1)а}, ехр {+/5а},
что показывает его эквивалентность неприводимому представлению &S\R). Кроме того, (22.24) показывает, что f{sJ, принадлежат ш-й
310
Глава 22
строке представления ?>(5) (R), так что ?>(5)(/?) действительно должно входить в (22.23). Функции переменных s2, sn,
которые принадлежат представлению A(5)* = D^2 " по отношению к перестановке частиц, принадлежат представлению ?>(5) группы вращений по отношению к вращениям Ощ. Фактически они принадлежат представлению A(S)* X прямого произведения этих двух групп. Это можно показать, если подействовать оператором Qp на (22.23) и использовать (22.11а):
QpCVli! = 2 =
т’
= 22®№(4’И№тй" (22.24а)
т' У
т. е. принадлежит (X, т)-й строке представления А(5)(Р)*Х X®'S)№).
Описанные результаты можно хорошо проиллюстрировать с помощью разложений представлений, приведенных на стр. 161. Можно считать, что каждое заменено на функции, принадлежащие этому D^. Тогда /-й
столбец будет содержать те функции, которые принадлежат = (J_ п_л
= А по отношению к перестановкам переменных, причем
(— п Л
й-й строки заменяются на gfy, gfy......Если /' 2 j ' = из (22.13)
подставить теперь вместо gfy, то k = ^ п-\- rn^-я строка будет содержать функции, принадлежащие ехр (-\-irn <р) по отношению к враще-
(2. л- Л
ниям вокруг оси Z. Из того факта, что каждое из = А встречается не более чем один раз в каждой строке, видно, что существует не более одной функции от s, которая принадлежит заданной
(?л-0
строке представления А и ехр (+/т<р) по отношению к враще-
Л-Л
ниям вокруг оси Z. Поскольку А встречается в строках
I, г + 1....п — I — 1, п — i, выражение m — k — п будет принимать
в г-м столбце значения — n-\-i, —-i-л-f-/-f-1...... ~п — i — 1,
•i-п — I. Функции,‘появляющиеся в различных строках/-го столбца, при*
надлежат различным строкам представления ?>' * * по отношению
к трехмерным вращениям и являются партнерами.
Тонкая структура спектральных линий
311
Если бы мы использовали функции g из гл. 13 непосредственно вместо функций f=\Jg, то следовало бы только заменить „вращения вокруг оси Z“ на „вращения вокруг оси Х“; ничего больше не изменилось бы.
