Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
с тем же собственным значением, что и фхД, и поэтому может быть выражено в виде линейной комбинации функций фх-Д,- Мы можем подставить выражение (22.8) для Ряфх в
о PVx = PpQptxA = Ppt • Q яЛ (22.9)
и выразить функции Qp/X через Д,, так как всякая функция от s может быть выражена через Д,. Однако, чтобы получить по возможности наиболее простую систему коэффициентов, следует начать с ортогональной системы (22.6а), функции которой принадлежат неприводимым представлениям симметрической группы по отношению к операторам Qp.
5. В гл. 13 мы определили такую ортогональную систему для s. Там мы воспользовались ортогональной системой
s{', sty....sln (Ti* Т2> •••> Тл = ° или !)> (22.66)
а не (22.6). Мы расположили эти функции таким образом, что все функции А-й строки были функциями А-й степени (7, -(-
••• —)— = А); всего было (jM таких функций. Далее,
304
Глава 22
было показано, что при k^n/2 можно образовать линейные комбинации функций А-й степени, каждая из которых принадлежит одной строке одного из представлений
D(0), D(1), D(2)....D(A). (22.E.2)
Поскольку размерность D(i) равна
'-“("И/-!)1 <22'10>
число этих функций действительно равно l0 + /,-{-12 + ... + =
= При ?>л/2 вместо представлений (22.Е.2) появляются представления
D(0), D(1), D(2)...D(,,~A) (22.E.3)
(см. примеры в виде таблиц на стр. 161).
Если обозначить функции А-й степени, принадлежащие Х-й строке представления D(i), через gfy, то
li
QPg(ll = 2 D(i) (P\rK g[‘\ (1 = 0, 1,2............k или n — k).
X _1 (22.11)
Мы использовали функции (22.66), а не функции (22.6) потому, что для них множители s^p при к = 0 можно просто опустить, а это упрощает формулы. Однако теперь снова вернемся
к функциям (22.6), заменяя s°= 1 на 8^ и s' = s на 8^ 1#
р Р> ~ р р Р>
т. е. заменяя всюду sj на 8^ 2t_i. Таким образом, функция
U^(Si. s2, ..sn)= 2 cTiTa ••• т„Ч. 2Ъ-1. Чг 2VJ
(22.12а)
заменит всюду функцию
^(«1. «2.....Sn)= 2 ,CTlT2...T„Sif1S22 ••• Sln- (22-12)
Тр'°'
Это не изменяет трансформационных свойств, поскольку ясно, что замена (22.12) на (22.12а) коммутирует с перестановкой переменных. Поэтому, если мы запишем
= /^*"Л и*(*Гв)=/а <22ЛЗ>
А, A-j-я X, —it+т
Тонкая структура спектральных линий
305
И >)
D(i) (Р) = П~1^ (Я)*, D^n~S\p) = \{S)(P)*, (22.13а)
то, согласно (22.11), будем иметь
0Pf^ = ^A^s\P)l,xff,l. (22.11а)
Для четных п как S, так и от являются целыми; при нечетных п — полуцелыми.
л (Iя-5) 1 _i_
Функция , ' имеет степень -кП-\-т, т. е., если она запи-
X, уЯ+m J
сана в виде (22.12), в нее входят только члены, содержащие -^¦/i-j-от множителей s' ^и i/i— от множителей s°^. Поэтому
в Дт входят только те члены, которые содержат
X, —п+т
-g-/i-j-от множителей 8^tl ^и iп — от множителей 8^_ функции /]3) могут быть отличными от нуля только для тех наборов значений переменных sp, в которых точно из s равны -j-1
^и п — от равны —1^, так что сумма всех s( равна
i/i + m-|yn — tnj = 2m\ s2> •••> Sn) = ® ПрИ sl + s2~b ••• +5я?=2от. (22.14)
Если функции
/№, (22.Е.4)
где
2...[in-s)~[i-s-
т = — S, — 5+1... 5 — 1, S,
5 = у л, -j п — 1, — 2.\ или 0>
‘) Фактически звездочки в (22.13а) не имеют какого-либо значения, так как (Р) вещественны. Они введены только для упрощения по-
следующих вычислений, так как делают излишним использование вещественности представлений
Глава 22
взяты в качестве полной ортогональной системы функций от s, то, используя (22.8) и (22.11а), для (22.9) получаем
ОрФЛЯ = (Р)х,х л(5> (Р)* ^ (22.9а)
х' X
Таким образом, функции фх/^ преобразуются между собой по прямому произведению
D(P)XA(5)(P)*.
6. Можно предположить, что собственные функции первого приближения, т. е. правильные линейные комбинации
(22-15)
xS'
Хт
в теории возмущений, вводящей спиновые силы, принадлежат неприводимым представлениям группы операторов О р. Так как принцип Паули требует, чтобы использовались собственные функции, представления которых антисимметричны, достаточно определить антисимметричные линейные комбинации (22.15); первое приближение для собственных функций, удовлетворяющих принципу Паули, должно представлять собой их линейную комбинацию.
