Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
% = hij + -^ + -^-2RR6lJsi, (15.10.9)
дхі дхг
= + + (15.10.10)
Ot QxI SX
h*t = htt + 2—-. (15.10.11)
Весьма удобно выбрать Ell так, чтобы
Aft = AS = 0,
сохраняя таким образом в максимально возможной степени вид невозмущенной метрики. Это можно осуществить, определив єц следующим образом:
:= — j- j hu dt,
Опуская звездочку в AJv, будем считать всюду, что координатная система выбрана так, что
hit = Atf = 0. (15.10.12)
Возмущение g?V = Aixv приводит к возмущению в аффинной связности (10.9.1), имеющему компоненты
«U=^ (? і Ajh; {) =^3- (^ + ?-=^-) , (15.10.13)
Sllfc= — Y (Ati; ft + Atft; j — Aift; і) = у , (15.10.14)
dh> *
Srii = YW (Ай; і + Aii;«- А(і; <) = JL ( - Щ- Aij-) , (15.10.15)
6Г{І =SlIt = 6ГІ( = 0. (15.10.16)
Свертывая, получаем
6^=6^ = 6^ = ^(1^), (15.10.17) ¦622
Гл. 15. Космология; эталонная модель
причем по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование от 1 до 3. Возмущение тензора Риччи определяется тогда выражениями
-RRdijbrt-^dTtij+ RR (04 + 61?),
бRii = (8Г0; і- (вГЙ): , = ^--^.-4 вг,+ 4 61Ib
Ши = (6Г0; і - (61?; й = ^ бПг,
или, в более явном виде,
SD 1 tw,9 7 ^hih d2llJh д* Ilhh \
SRiJ = -Om- (V2Iiu----:—-i--+К-) —
' 2Д2 \ 11 дх] дхк дхі дхк дхі дх] )
-y-S^ + A ihu-hM)+ ж (~2hu + bM> (15.10.18)
(15-10-19)
бRtt = [ hkk - 2 -JA* + 2 (-g--Jj-) hhh] . (15.10.20)
Согласно формуле (15.10.1), член в правой части уравнений Эйнштейна, описывающий источник, равен
Sixv = Tilv-J g„vT\ = J (р — р) g^ +(p + p) UixUv -
-^HiieHvaWpa-X (HiipUv +HveUil) Qp. (15.10.21)
Чтобы сохранялась нормировка скорости U, должно выполняться равенство
о = б (B114WU") = -IU1K
Возмущения hij, Uli, P1, P1, T1 вызывают следующие изменения бSij = T(P-P) hU + -T- SiJ (Pi - Pi) - Лй4^, (15.10.22)
в Siiv.
8Sit =-R2 (p + p) US-XTdHii+ XR2Wi, (15.10.23) J_
2
бSii = (Pi + зPi) - 2ХГ6ЯШ (15.10.24) J' 10. Общерелятивистская теория малых флуктуации, 623
где
б Hit=-R2Uii, 6Я„ = 0, (15.10.25)
бWii = R-2 ГІЇІ + fi V. U1I +
L- дхЗ дх1 " J
+ R-Ijjf [i?-2 (htj- i?« Aft)], (15.10.26) 6()1 = Д-2 [ ІЇ1 + f A (W1*)] . (15.10.27)
Окончательно из уравнений Эйнштейна следует, что
6fi„v = SnGbSiiv. (15.10.28j
Равенства (15.10.18) - (15.10.20) и (15.10.22) - (15.10.28) приводят к уравнениям
d2hik d2hJ^ , аЧЬЬ nil' ¦
^ hU = —Ti5T---:—Г -I--:-Г — -R2AiJ -г
дхг дхй дхг дхк дх1 дхЗ
+ RR (kj - бiM) + 2 (R)2 (- 2hjj + bi}hkk) = = - 8л,G (р — р) R2Hlj - ZnGRbbij (pi — pt) +
+ 16ябгіЛ*-|-[/г-2(й„—іб,Аь)], (15.10.29)
-l6nGXTR2Uli-i6nGx[^- + T^f (i?2C/j)]. (15.10.30)
Aftft—^Aftft + 2(^P-4-) Aftft= -8nG(Pl + 3Pl) R2. (15.10.31)
Уравнения движения жидкости можно получить или из закона сохранения Jtlv; ц = 0, или непосредственно из уравнений поля.
Действуя операторами д/дхг и d/dt + 3 R/R на уравнения (15.10.29) и (15.10.30), а затем упрощая полученное равенство с помощью уравнений (15.10.30), (15.10.31) и следа уравнения (15.10.29), мы найдем уравнение сохранения импульса
( + 1 GnG^ ) { RWS (Р + P - IT) - %R3 [ + T ± (R2U1*) ] } =
= г,д» Tv2^ii+i—V-U ,+I- 4- (д-A)].
дхг I- 3 дхг 3 dt V Qxг IJ
(15.10.32) ¦324
Гл. 15. Космология; эталонная модель
(Вектор U1 имеет компоненты Uj1, а не Uli.) Из дивергенции уравнения (15.10.30) с помощью (15.10.31) и следа уравнения (15.10.29) получим уравнение сохранения энергии
Р. + (Pi + Pi) = - IP + Р) [-5- (-?-) + V • U1] +
+ X [f^-u.+A-v^+A-A-^-uo]. (15.10.33)
Как обычно, при рассмотрении диссипативных процессов мы должны использовать также и уравнение сохранения тока частиц nU11:
(Строго говоря, в качестве п следует брать плотность барионов или лептонов.) Для невозмущенного решения имеем уже знакомый результат:
п ~ R-3,
и с точностью до первого порядка по возмущениям щ, U1, hij получим
о = jSf-+ -?-»1+1! [V.u.+ er»]
или, используя (15.10.17),
ж = -^--W Ш- (15-10-34)
Уравнения (15.10.29) — (15.10.34) образуют удобную систему фундаментальных уравнений, но следует иметь в виду, что они не все независимы; это видно из самого способа их получения. Одно решение этих уравнений можно найти сразу:
Mx1 о-Д'Ю [.^+.ЇШ-],
L дхі дх1 J
p1 = P1 = U1 = U1 = T1 = 0, (15.10.35)
где f — произвольная функция положения. [При подстановке для проверки в (15.10.29) следует воспользоваться уравнением (15.1.20).] Однако если обратиться к выражениям (15.10.9) — (15.10.11), то становится ясным, что это возмущение не имеет физического содержания, а представляет собой эффект бесконечно малого преобразования координат вида (10.9.6):
хи-+хи — еи (х),
E4 = Of е(х, t) = R2(t)i (х), (15.10.36)
структура которого сохраняет равенства hit = 0, htt = 0. Нас же интересуют физические возмущения, вид которых по необходимости должен отличаться от (15.10.35). J' 10. Общерелятивистская теория малых флуктуации,
625
Явная пространственная однородность уравнений (15.10.29) — (15.10.34) позволяет искать решения с пространственной зависимостью вида
