Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Микротеорема. Для стационарного в широком смысле числового процесса It, t^T, Т = R1 или Z\ линейная регулярность слева и. линейная регулярность справа равносильны. Точно так же равносильны линейная сингулярность слева и справа.
Доказательство. Как мы уже говорили, решение задачи линейного прогноза однозначно определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией процесса. Значит, линейные регулярность и сингулярность определяются корреляционной функцией процесса (математическое ожидание на них никак не влияет). Регулярность (сингулярность) справа процесса — это то же, что регулярность (сингулярность) слева процесса %t = ?-f. Но корреляционная функция этого стационарного процесса удовлетворяет равенству /С|(т) = Л^(—т) = Л^(т). Эта корреляционная функция отличается от Л^(т) только заменой i на —?; значит, и функция
задающая ошибку экстраполяции «назад», отличается от функции a2(t)—ошибки при экстраполяции «вперед»— только заменой i на ¦—i. Но a2(t) действительно, поэтому d2(t) = o2(t), откуда вытекает утверждение микротеоремы.
82
Для нелинейной регулярности (сингулярности) и стационарных в узком смысле процессов соответствующее утверждение неверно.
Заметим, что мы доказали нашу микротеорему только для числовых процессов; для векторных стационарных в широком смысле процессов доказательство не проходит, потону что корреляционная функция (матричная) при обращении направления времени заменяется на комплексно-сопряженную транспонированную.
Задача 3*. Пусть (?*, г](), t е (—оо, оо), — двумерный стационарный в широком смысле процесс (т. е. Mg^ Mr|< = const, a cov (lfl |s), cov tis), cov(r|rTis) зависят только от t — s). Пусть H<t — пространство, линейно порожденное случайными величинами ti , H^t— величинами 5S, r|s, s^t. Возмож-
но ли неравенство М | ?; — пРя<0 |2 ^ М |S_;-npw>05 -г|2?
9. Задача 4. Пусть г) — случайная величина, ?*, t^T,— случайный процесс, причем все совместные распределения [i t » — гауссовские. Докажите что в этом случае наи-
Sfl... 1п
лучшая оценка rj по Ъ, t s Т, совпадает с наилучшей линейной оценкой.
В частности, для гауссовского процесса наилучший прогноз его значения в любой момент времени — линейный. С этим, конечно, связан (но непосредственно отсюда не вытекает) тот факт, что для гауссовских стационарных процессов регулярность и линейная регулярность равносильны (см. Розанов, 1963, гл. IV, § 9).
Глава 4
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 4.1. Корреляционные функции
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые примеры и результаты, относящиеся к «элементарной» части теории, — то, что получается применением к стационарным процессам методов § 2.1. В следующих двух параграфах мы будем основываться на материале гл. 3 и § 2.2.
1. Найдем математическое ожидание и корреляционную функцию стационарного процесса примера 1 § 1.2: = A cos (r\t + cp), где А, г| имеют произволь-
ное совместное распределение на [0, оо) X [0, оо), а Ф не зависит от них и распределено равномерно на [О, 2я). Легко видеть, что М?г существует тогда и только тогда, когда МЛ < оо (имеем М | %t | == М | ?01 = = МЛ ¦ М| соэф|), и при этом
2Л
Мё^ = МЛ • М cos ф = МЛ • (2я)~‘ ^ cos г dz = 0.
о
Моменты второго порядка существуют, когда МЛ2<
< оо; в этом случае
(т) = M?T+S?S = МЛ2 cos (r| (s + т) + ф) cos (ris-f ф) = = [МЛ2 cos г]т + МЛ2 cos (г] (2s+ т) + 2ф)].
Второе математическое ожидание равно нулю, потому что случайная величина t](2s-|-t) + 2ф, приведенная по модулю 2я к отрезку [0, 2я), не зависит от Л и имеет равномерное распределение. Преобразуем
84
первое математическое ожидание:
оо оо оо
^(Т) = 1Г$ S x2cosyxnM(dxdy)= ^ cos г/т ц (Л/), (1)
0 0 о
где ц, — конечная мера на [0, оо), определяемая равенством ' j
оо
М-(В)=4'5 \ x'2tlA^(dxdy) = ^-MA‘2XB(4)-
о в
Здесь всюду интегралы от 0 до оо берутся, включая точку 0.
В качестве ц может выступать любая конечная мера на [0, оо).
Если определить меру v на R1, перенеся половину меры ц, с (0, оо) симметрично на (—оо, 0), то формулу (1) можно переписать в виде
оо
К1(х)= ^ e‘yxv(dy). (2)
Мы видим, что корреляционная функция — преобразование Фурье симметричной меры на RK Для
v (dy) = гс + например, К (т) — е '|т|, т. е. корреляционная функция получается такой же, как для совершенно не похожих ни на случайное гармоническое колебание, ни друг на друга процессов примера 8 § 1.2 и задачи 2 § 1.4.
Чтобы получить корреляционную функцию вида (2) с произвольной — не обязательно симметричной— мерой v, достаточно рассмотреть процесс 11 = = Лег(11*+ф), где г] может принимать и положительные, и отрицательные значения.
