Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 7. Пусть последовательность независимых случайных величин с вероятностью 1 сходится. Докажите, что тогда существует число а такое, что Р ( lim ? = а}= 1.
Задача 8. Определим ст-алгебру t + ^ как |"| Ц|, где
u>t
у и]=а{ь5> * < s “}• Рассмотрите пример какого-либо случайного процесса и выясните, будет ли для него ст-алгебра SFy г+| состоять только из событий с вероятностями 0 и 1 (будет ли иметь место закон нуля или единицы).
4. Ясно, как определяются пространства случайных величин L%t + , H^t+, L%t-, H^t~, L% + ao, #> + <*> и т. д. Для пространств L%t + , ...,L[S~. t+] одинаковый результат дают определения L^+=L2(fi, #”</ + , Р), . .. и определения L%t+= [} Ll:s, ...
s>t
Пространства H<^i + , . . . определяются как пересечения, например: #< „с= П H<^s.
S
Законы 0—1 очень просто формулируются в терминах пространств L2: соответствующие пространства состоят только из констант, т. е. закон 0—I тогда и только тогда выполнен для a-алгебры ^ 9Г, когда пространство L2(Q,si, Р) одномерно.
С пространствами H<i+ и подобными связаны задачи, относящиеся к корреляционной теории случайных процессов. Аналог «в широком смысле» колмогоровского закона С—! очень легко доказать.
Задача 9. Пусть ?ь ..., \п, ... — некоррелированные интегрируемые в квадрате случайные величины. Докажите, что пространство Н^. + 00 состоит только из констант.
§ 3.2. Операторы сдвига
В этом параграфе мы будем рассматривать случайные процессы, заданные на множестве T = Rl, или R+ = [0, оо), или Z1 = {... , —2, —1, О, 1, ...}, или Z+ == {О, 1, 2, .. .}. На множестве Т в этих случаях определен сдвиг: Мы хотим определить опе-
68
раторы сдвига, действующие на события и случайные величины, связанные с нашим процессом.
1. Введем следующее предположение. Пусть для любого ше!! и любого h еГ существует, причем единственное, элементарное событие со+ е ?2 такое, что ^ (со+) = ^ + h (со) при всех t е Т. Обозначим Oh оператор в пространстве Q, сопоставляющий элементарному событию (о элементарное событие со^: со+—0Лсо. Оператор 0Л сдвигает траектории влево на h; на рис. 8 изображен случай Т = [0, оо).
Обозначение со+ соответствует принятому в книге Ито и Маккина (1968), 0лш— обозначениям, принятым в книгах Д ы н к и н а (1959, 1963).
Теперь определим сдвиги уже не элементарных событий, а событий — подмножеств Q.
Пусть А ^ Q. Тогда можно рассмотреть множество А = {со: 0Лсо еЛ}- прообраз А при отображении 0Л. Рассмотрим пример ы.
а) Л = (s, е Г}. Легко видеть, что 0л 1А== = {ш: Ш+еЛ} = {а>: Е, (и+) е Г} = {ш: ?г+/»еГ} =
= {^еГ}.
б) B = {lt = a при t^tQ}. Здесь 0Л Д = {|/+Л = а
при t^t0} = {lt^Ba при t^h-\-t0}. '
в) С = {lim = 0}. В данном случае 0д'С =
/ -> оо
= {lim It+h. = 0} = {lim lt = 0} = С.
t -> oo t -> оо
Изобразим на рис. 9 пример б), взяв Т = [0, оо). Мы видим, что условия, задающие событие, при применении оператора сдвигаются вправо на h. Это не удивительно,
потому что мы должны сдвинуть траекторию (реализацию) влево и посмотреть, удовлетворяет ли она условиям, задающим
69
данное событие; это все равно, что сдвинуть эти условия вправо, оставив траекторию без изменения.
В примере б) при t0 = 0 множество В состоит из единствен-
ной точки, a QhlB — более чем из одной.
Теперь определим операторы сдвига, действующие на случайные величины, даже просто: функции, определенные на Q (случайная величина, как мы помним,— это не любая функция на Q, а только измеримая). Полагаем для функции т) (со) на Q
М (®) = П = TlK)'
Примеры.
A) 0/ig/ =
Б) Т= [О, 00), Ъ — числовой случайный процесс
с непрерывными
траекториями; т] (со) = ^ %s ds (интег-
рал определяется отдельно для каждой траектории).
t t + h
Здесь, естественно, Qhт] = ^ gs+A ds = ^ %sds.
О h
В) Случайный процесс — такой же, как в предыдущем примере; x(<a)=inf{/: ^(ю) еГ) — момент
первого достижения множества Г R1 (если таких t нет, полагаем т(ш)=+оо). Чертеж приведен на рис. 10. Здесь 0/,т = inf{/ ^ h: е Г}—h\ это первый
70
после h момент достижения Г, уменьшенный на h. В частности, для тех элементарных событий, для которых т ^ h, будет 0/,т — т — h.
Впоследствии мы докажем, что функции т|, т примеров Б) и В) в случае, мапример, открытого Г — случайные величины, т. е. что они измеримы.
Легко понять, что операторы сдвига можно ввести не только в случае Т = Rl, R+, 11 или Z+, но и когда Т — произвольная полугруппа¦ например, для Т — Rn или для окружности.
2. Посмотрим, какими свойствами измеримости обладают введенные нами операторы сдвига. В силу примеров а), А) cr-алгебра 5F\s,t\, порожденная случайными величинами |н, s ^ и ^ (, под действием оператора 0/Г1 переходит в cr-алгебру, порожденную случайными величинами Ец+ь т. е.
