Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
причем на множестве {хп < °°} выполняются соотношения xn + k = rn + 6t„Tft’ =
Далее, переходной функцией цепи должна быть функция Q (К х, Г) = Рх «= Tj, х е К, Г s К; Q (к, дс, {*}) = Рх {rfc = оо},
х е У; Q (к, *, Г) = б, (Г). Марковское свойство для этой цепи состоит в том, что почти наверное должно быть
рх К+* е Г | лг ¦ • - , = Q (*. v г)-
На множестве {ti„ = *} это очевидно, на (т1„ ф *} = {т„ < оо} это следствие строго марковского свойства для цепи относительно марковского момента тп-
Конечно, сам факт гораздо очевиднее до доказательства, чем после него.
3*. Характеристическая функция ть — ха, 0 ^ а ^ Ь, задается формулой ехр { — (6 — а) У| г | (1 — i sgn z)}.
§ 8.6
I. Если Г — компакт, то переходная вероятность P(t, х, Г)->--0 при t-*- оо; для любой конечной меры ц интеграл
(j. (dx) Р (t, х, Г) —> 0 при /-»- оо. Поэтому если |г — конечная
инвариантная мера, то ц(Г) = 0 для любого компакта, и |г = 0. Для меры Лебега в R': ;
S
^ dx Р (/, х, Г) = ^ dx Г ^р (/, х, у) dy'I =
Rr цг Lr J
= j) \ P^’ *’ y) dy=\ dy = mes(T).
-R
2. |г{1} = 2c, \i{2) = с, с ^ 0.
3. Любая конечная цепь Маркова более чем с одним классом существенных изменений.
4. Ограничимся случаем нулевого среднего. В силу задачи 2 § 8.1 дело сводится к тому, чтобы найти все непрерывные чис-
372
ловые функции mt, a2, f ^5= 0, сг2^0, такие, что mt+s = mtn , cr2+s = т2а2 + сг2. Кроме того, требование существования гауссовской инвариантной меры — скажем, с параметрами (0, сг2) —дает еще условие a2 = т2о2 + о2. Отсюда получаем rnt= e~at, a >0; a2 = a2(l — e~2at). (Случайa = 0 —это процесс, тождественно no t равный одной и той же гауссовской случайной величине.) Корреляционная функция К (т) = а2е ~2а Iт'; спектр также легко вычисляется.
§ 9.1
1. Во-первых, СеЛо; любая непрерывная на [0, оо) функция равномерно непрерывна на любом множестве вида ГоП[0, N]. Далее, если Л а С, Де 8ЁТа (^*0, °°*), то Л0 е А. Действительно, предположим, что хг е Л0; что означает, что для любого N функция xt, <еГоП[0, W], равномерно непрерывна. Продолжим эту функцию непрерывным образом на всю полупрямую [0, оо); обозначим полученную функцию через х . Так как принадлежность функции множеству А определяется лишь ее значениями на Т 0, ах <= С s А, то функция х„ совпадающая с х на Т 0, также принадлежит А. Но нам и нужно было доказать, что из х. s Л0 вытекает х, s А.
2. Равенство между множествами доказывается всегда одинаково: из того, что функция х. принадлежит одной части, выводится, что она принадлежит и другой.
3*. Доказательство этой оценки и всей теоремы 2 (а также следующих за ней теорем 3, 4) можно прочесть в книге Д ы н-к и н а (1959, гл. 6). См. также Гихман и Скороход (1965, т. IV, § 4).
§ 9.2
1. Достаточно проверить, что для любого ДеУ<1 +
(в частности, для А = ?2) А П е t. Но для 0 ^ t < 1/2"
это событие вообще невозможное; для больших t, так как хп принимает только значения, кратные 2~п, имеем {хп < t} = = {х„ < k/2n} = {т < kl2n}, где k/2n </<(? + 1)/2". Поэтому A f| Г) {тп ^ tj = Л Л {т < k/2n) s < п (здесь используется результат задачи 5 § 6.1), а эта ст-алгебра является частью
2. Если tn\t, то для всех со; в силу непрерывности / кке / и, пользуясь ограниченностью f,
осуществляем предельный переход: (*) = MJ ^ ) ->
j(lt) = P*f(x).
3- л {т = п< ?t(j:)s Г} = Рл {^1 = • ¦ • = = *>
еГ\М} = Р(1, х, Mf-’PO, х, Г\{*}).
4. Положим хп — min |k/2n: легко доказать, что
хп^х(х) при всех ш (используется непрерывность справа). При
373
О имеем {т (д:)>/}= |~] {тл > /}; поэтому
Л = 1
Р* {*(*)>*} = lim Р^{тп>/}= lim Р,{тл>[2л/]/2л} =
п -> ОО ГС -> оо
= „IXP4V = V= =5[2П*]/2Л = *} =
[2^]= ,!т р.. Л Л>л, X, {*} )2"* =
= [Р* {т (*)>!}]'.
= lim Р П/2Л, *. W)U <J= lim Рх (1/2л, *, {*} )
п-уса п->°о
Получаем показательное распределение с параметром Х(х)= !im 2ге I In Р (1/2ге, х, {«}) |.
П-> оо
2 4- е“3/2 In 2 +
3
= lim 2ге | In [1 -
П-> оо
5. Имеем А(1) = Нт 2ге
П-> оо
— 1 /2" + о (1/2™)] | = 1; аналогично Я (2) = 2.
6*. Воспользоваться тем, что (?т (¦*))=
= lim М х, где a обозначение тге — то же,
Tl->оо ^ ^' \ Т /
