Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
k = 0
2. {Tft<«}= U Ti
0<nj<n2< ... <nfe<n i = О
П2— 1
П{^Г,}П П {^^Г2}П{1П!ег2}П ...
i = rti + l nk-\
- П П егк}е<г<п.
‘“"fc-l+l
3. Замечание. Задачу 3 мы решим на основании задач 4,
5, решения которых мы сейчас приведем.
5. Пусть т — марковский момент относительно + .
ОО
Имеем {t < /} = U {т ^ t — 1/л}; каждое слагаемое здесь при-/1=1
надлежит 9~<(f — i/n)+ — ^~< t< а значит, и сумма принадлежит 3~< f.
Обратно, пусть {т </}е^"<< при всех t. Пользуемся тем,
ОО
что {т ^ /} = |~) {г < / + 1/л}, где ?—любое натуральное число; n = k
получаем, что {т ^ /} е < t+ ^ для k—\, 2............. откуда
ОО
{т</}е р gr<i+uk= f] sr<s = sr<t+-
fc=l s>t
4. Если ?<(&)) непрерывно справа, то для открытого множества Г
{т</}= [J {?геГ}.
рац. r<t
То, что любое элементарное событие, принадлежащее правой части, принадлежит также и левой, ясно, причем даже и не для открытых множеств. Обратно, если т < /, то существует s < i такое, что %s е Г. Раз множество открыто, а траектория непрерывна справа, то она не может сразу же после s выйти из Г, т. е. для и, достаточно близких к s справа, ^еГ (рис. 38). Среди этих и есть и рациональные, причем меньшие t.
Итак, мы представили {т < /} в виде суммы счетного числа событий, принадлежащих Зг< {, значит, {т</}е^"5^<> и в силу задачи 5 т — марковский момент относительно семейства < + •
3. Через Г„ обозначим 1/я-окрестность Г; Г„ = {х: д(х, Г) <
< 1/л}; это — открытые множества, дающие в пересечении Г. Если траектория непрерывна, то моменты хп первого достижения (тп = inf е сходятся к т, причем если
Т > О, то тл < т (рис. 39; если т = 0, то все тл тоже равны
365
нулю). Докажем сходимость: раз т„ — неубывающая последовательность, то существует Too = lim хп е [0, оо]. Ясно, что
оо
Too ^ т. Поэтому при То,, = оо имеем т = оо;если же т,» < оо, то в силу непрерывности Траектории имеем ?т = lim ?т . Но —
00 П-^оо п
тоже в силу непрерывности траектории — принадлежит границе Г„, и для любого n^k точка содержится в множестве
{х: р (х, Г) ^ l/k}. Предел, , также содержится в этом мно-
ОО
ОО
жестве, а значит, L е П {х: р (х, Т) ^ \/k} — Т. Но это озна-“ fc=l
чает, что в момент Too мы уже достигли множества Г, т. е. т То,,. Окончательно имеем т = Too = lim т„.
П-> ОО
Отсюда выводится, что при / > О
ОО
f| {т„ < /},
П= 1
и из результата задачи 4 получаем, что при
t > 0. Что же касается t = 0, то {т ^ 0} = {т = 0} = {|0 еГ), и это множество принадлежит = 0 по совсем другой,
более простой причине.
6. Очевидно.
7. Докажите, что {т ^ с} е^т. Измеримость этого множества относительно — результат задачи 6; далее, для /еГ
{т<с)П{т<(} = (т<сД(}б ГсЛ,Е 3Tt.
8. Пусть Ае ЗГт; докажем, что Ае Уа. Во-первых, по условию А е ЗГ^; во-вторых, A f| {а ^ t) — А П {т ^ /} П {о ^ 0 ^ У t как пересечение принадлежащих этой а-алгебре событий А П {т ^ /} и {а ^ 0-
9. {а ^ <} = {а <} Л {т ^ <} е
10. В силу задачи 8 наименьшая из этих а-алгебр — д а, так что достаточно показать, что {т < а} е ЗГ х д ст. Во-первых,
{т < 0} е ЗГ^ потому что {т < 0} = (J {т ^ г} Л {а > г} =
рац. г
366
= (J [{т<л}\{ог<л}]. Далее, {т < а}(]{т А а</}={т<а} |")
рац. г
п {т < /} = [J {т < г) п {о! > г) и {т < /} п {ст > 0- Здесь
рац. г<<
каждое слагаемое суммы по рациональным г принадлежит STr е последнее слагаемое тоже принадлежит Уt, значит, этой а-алгебре принадлежит и сумма.
§ 6.2
1. Нужно доказать для Се!1 измеримость множества {г|т е С} относительно 9"^ и измеримость {т)т е С} П {т ^ относительно STt. Эти измеримости следуют из результата задачи 5 § 1.3 в применении к (Г, 3~) = (Г, 28т) (соответственно (ГП(~°о, /], *<,))¦
2. Так как ?<(о)) непрерывно по t, достаточно доказать, что случайная функция согласована с семейством ST*. Но Неизмеримость случайной величины вытекает из теоремы Фубини.
3. Функция S;s на [0, t] X & измерима относительно
Я[0 ^ X 9~t в силу микротеоремы 3 § 6.2, значит, отображение (s, ш) -> (s, Es(g>)) пространства ([О, Г] X &, ^[0,/] X Н/) в ( [0, /] X X, ц X 92) измеримо, а значит, и числовая функция / (s, (ш)) измерима относительно ^ X f Далее приме-
