Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
to i = 0
при измельчении разбиения to С ti С ... <Ztn = tmах.
285
В интегральной сумме (18) f(U, со) нельзя заменить на f(s/, со), где St — произвольная точка из отрезка fj+t]; например,
U-m- Z w<i+l {Wti+l - «%) = OLx ~ W‘o)/2 +
Ф l.i.m. ? wtt (wti+l ~ wti).
Один из способов построения ступенчатых предсказуемых приближений к интегрируемой предсказуемой случайной функции дает следующая задача.
Задача 6. Пусть f(t, ш), (0, оо), — предсказуемая слу-
чайная функция, при почти всех со принадлежащая Is(0, оо), р ^ 1. Для Л > О определим случайную функцию fh(t, со) равен-ih
ством /Л (/, со) = h ~1 ^ / (s, ш) ds при i'A </=?:(/+1)Л,
(i-l)ft
I 5= 1 (если интеграл расходится, берем /'*(/, со) =0); при
0 < t Л положим fh(t, со) = 0.
Докажите, что /Л(/, со) -*-/(/, со) при Л | 0 в 1Р{0, оо) при почти всех со. Если feV((0, оо) X Й), то при Л | 0 в
смысле сходимости в этом пространстве.
5. Мы определили стохастический интеграл, совершенно не пользуясь тем, что со — одна из координат пары (t, со); так что могло бы оказаться, что значение стохастического интеграла (1) при данном со зависит от значений случайной функции f(t, со) при совершенно других со. Однако это всё же не так. Правда, мы не можем утверждать, что из совпадения /[(/, со) = =/2(/, со) при данном со вытекает /(/i) = /(/2) при том же со, или, что то же: из /(/, со) = 0 при данном со вытекает /(/)(со) = 0 (в нашей /Лтеории вообще отдельные со не могут приниматься в расчет); но имеет место следующий результат:
Теорема 3. Если функция fe!2((/0, /тах] X ?2, tPred, mes X Р) при почти всех со, принадлежащих
*тах
событию А, равняется нулю, то ^ / (/, a))dwt — 0
to
при почти всех ше Л.
Доказательство. Пусть имеется последовательность измельчающихся разбиений t0=*to </” <
... </n-i <tn = tm ах и последовательность ступенча-
П— 1
тых предсказуемых функций /" (/, со) = ? f" (со) X
286
XXi'ifi tn п(0> сходящаяся в среднем квадратическом к f(t, со) ^случайные величины /"(со) измеримы относительно тогда / (/) = I. i. m. / (/?). Идея состоит
i ) П->ОО
в том, чтобы изменить случайные функции fn(t, со) так, чтобы при обращении f(t, со) в нуль при почти всех t е (t0, tmах] и приближающие функции тоже обращались в нуль. Однако нужно сделать так, чтобы приближающие функции остались предсказуемыми.
П— 1
Положим fn(t, n)=Zm<»)Xftn tn 1 (t), где
/ = 0 v I* i+ lj
11 {<*) = {
f1 (со), если ^ | f(t, co) f dt ф 0;
to
0 в противном случае.
Эта случайная величина измерима относительно &~tn,
i
потому что измерима случайная величина /Г и интеграл от t0 до t", раз случайная функция |/(/, со) |2 прогрессивно измерима. Докажем, что случайные функции fn(t, со), как и fn (/, со), сходятся к / (t, со) в среднем
*тах
квадратическом. Для этого оценим М ^ | fn(t, со) — -f(t, со)|2Л.
При произвольном со обозначим через г0 = г0(со)
‘т
первое такое г, при котором ^ |/(/, со)[2Л^0; если
1
таких г нет, положим i0 = ti—1. Разобьем интеграл от tQ до tmax на три: от t0 до t?„ от tnu до tnu+x и от
/?
*0
ti0+i до /тах. Первый интеграл ^ | fn(t, со) — f(t, со) |2 dt
to
равен нулю, потому что обе функции ]п и / равны нулю почти всюду в области интегрирования;
287
третии интеграл равен
t
max max
5 ira, со)-/(/, со)12Л< 5 | /" (t, со) — / (t, со) I2 dt.
Iq+ 1
vt t
Zo+ 1
Второй интеграл равен ^ |/(/, и) 12dt, потому что
tn
to
I it, со) = 0 при t", < t ^t?0+1. При почти всех и интег-
^тах
рал ^ | f(t, и)|2Л<оо, и, значит, интеграл по *0
отрезку (/?„, /"„+1] стремящейся к 0 длины стремится к 0 при я —*оо. Итак,
^шах
М J Ifn(t, со)j2dt^
to
t t1} max to+1
J \fn(t, a) —fit, <i>)\2dt+ M J \f(t, a)\2dt. (19)
Первое математическое ожидание стремится к нулю при я оо по предположению. Случайная величина под знаком второго математического ожидания стремится к нулю при почти всех со, причем, она мажори-
