Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
что ее реализации непрерывны слева, и она согласо-
282
вана с данным семейством а-алгебр: при t > О, л0 ^
оо
{^<х(/)=1}==й\{т<0 = й\ U {т</—1/л}е=^.
П=Па
Докажем, что
оо
5 ’l<x(t)dWt = (п. н.). (14)
О
Задача 1. Проверьте, что (14) выполняется для марковских моментов, принимающих конечное число
значений t\........
Теперь для произвольного марковского момента т возьмем марковские моменты тл =/гЛ( [2лт] + 1)/2" (см. § 6.1, п. 2). Они сходятся к т при п-*- оо, причем все тп мажорируются случайной величиной т+1,
имеющей конечное среднее. Отсюда вытекает, что Х<т (т) (0 = 1. i- rn. х<т м (t); из непрерывности отобра-
Я -> ОО Я
жения /, задающего стохастический интеграл, получаем
оо оо
\ X<x(t)dwt = 1. i- rn. \ At)dwt = 1. i. rn. wx (15)
J tl-> oo J П~> oo
С другой стороны,
шт= lim w%n (16)
я -> oo
в смысле сходимости при всех ©. Если одна и та же последовательность случайных величин сходится в одном и том же смысле к двум случайным величинам, то пределы почти наверное совпадают. В формулах (15) и (16) речь идет о разных видах сходимости, причем из сходимости одного вида не вытекает сходимость другого. Однако из обеих сходимостей вытекает сходимость по вероятности, так что wx и
Оо
^ %<x(t)dwt — пределы wXfi по вероятности. Значит, о
они совпадают.
Приемом приведения сходимости в среднем квадратическом и сходимости при всех (или почти всех) ю к «общему знамена-
283
телю» сходимости по вероятности мы будем пользоваться в § 12.3, чтобы установить совпадение с вероятностью 1 разных выражений со стохастическими интегралами.
Из (14) получается интересное следствие: для любого марковского момента т с конечным математическим ожиданием
Маут — 0, М(шх)2 = Мт. (17)
Задача 2. Может ли быть, чтобы для марковского момента т было Мт = оо, но Мш,, М (wxy конечны? Может ли при этом М®, ф О?
Задача 3. Пусть А, b — положительные константы, т — первый момент, когда \wt\ = b VА + t (в силу закона повторного логарифма (задача 8* § 7.3) такое т с вероятностью 1 ко-
нечно). Докажите, что Мт = оо при 6^1. При b < 1, предполагая, что Мт < оо, выразите Мт через А и Ь.
Задача 4*. Докажите, что Мт < оо при b < 1.
3. Определение интеграла — хорошая вещь; однако пользуемся мы обычно не определением, а выведенными из него свойствами. Пользуясь примером а) предыдущего пункта, мы можем переформулировать определение стохастического интеграла. Сделаем это в виде теоремы.
Теорема 2. Стохастический интеграл (1) — это единственное линейное изометрическое отображение L2((to, /max] X о, ?red, mes X Р) в L2(Q, Г, Р) такое, что для случайных функций f вида (8) 1(f) имеет вид (13).
Это позволяет находить стохастический интеграл от случайной функции f^L2((t0, /тах] X &red, mes X Р), приближая ее не простыми функциями, а случайными функциями вида (8). Приведем еще некоторые примеры.
в) Сама случайная функция wt предсказуема и интегрируема в квадрате на (tQ, /тах] X й, tmax < оо.
*тах
Посмотрим, что такое будет ^ wtdwt. Возьмем раз-
биение /0 < t\ < ... </„ = /max отрезка от t0 до /тах и ступенчатую случайную функцию /(/, «в), равную wt. при ti<t^.tl+1. Эта функция сходится в •?2((А>> ^maxl X й) к wt при измельчении разбиения,
284
так как
J М (f(t, со) — wtfdt =
to
л-1 *1+1
= 2 J M (wt — Wt.)2 л = 4" Л Л+1 — ^)2 ^
rt- 1
i =0 /, i = 0
<4-(*max —*o)max(/i+i — *i).
Поэтому
n- 1
^ wt dwt = 1.1. m. ^ Шг. (ш»г.+1 —- Шг.) to г=о
(предел при max(/i+i— ^)->-0). Рассмотрим тожде-
ство
п- 1
(“"шах - “"о)2 = 2 К + . - Wtif + п— I
+ 2 z Z. (о»/,+1 - Wt{) (wti+l - wt/) =
n-1 п-1
= Z (wll+l ~ wtt)2 + 2 Z (wtl+l - wh) WU -
— 2w, wt + 2oy? .
rma* 0 0
Левая часть не зависит от разбиения; первая сумма
в правой части сходится в среднем квадратическом
К trnах---to (см. § 1.2). ОТСЮДЭ
^шах
S dW‘ = Ках “ W‘o)l 2 ~ ('»« - ^о)/2'
f О
4. Задача 5. Пусть предсказуемая случайная функция f(t, ш), /0 ^ t ^ /щах С °°, непрерывна по t в среднем квадратическом. Докажите, что тогда
*тах га-1
^ /(/, <x>)dwt = l.i.m. ?/(/,-, со)(wtl+l — wti) (18)
