Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
И Дж Вобео 162
Глави 7
по этой сфере мощность будет fur> Тогда полная излученная мощность P будет равна
где I0 — амплитуда квадрупольного момента. Тогда выражение (8.19) и известные значения папряжеппостей поля приводят к следующему выражению для среднеквадратичного значения Rixw/" в направлении, перпендикулярном оси излучателя:
[(^le, = (8.20)
В выражении (8.20) ? представляет собой волновой вектор гравитационной волны. Из (8.18) и (8.20) следует, что
I r2 I п
йііг /ог- (8-21)
Рассмотрим теперь влияние внутреннего поглощения Dlll. Предположим сначала, что в самой антенне не происходит необратимых процессов, так что величина Din обусловлена исключительно радиационным затуханием в детекторе. Известное решение для линейного массового квадрупольного осциллятора позволяет вычислить радиационное сопротивление детектора Din:
2Gm*m2 ,VJ 2
Из (8.21) н (8.22) получаем
15\2
RM (па счет только ряд. затухании) == (8.23)
Равенство (8.23) означает, что среднее поперечное сечение поглощения Sa для детектора, затухание которого обусловлено толі,ко его собственным вторичным излучением, равно
15?2
Sa-^t- (8.24)
Из формулы (8.24) видно, что при этих условиях среднее поперечное сечение поглощения приблизительно равно квадрату длины волны и не зависит от гравитационной постоянной. К сожалению, практически внутреннее затухание невозможно свести к одному лишь вторичному излучению Детектирование и генерация гравитационных волн
163
ввиду того, что другие необратимые процессы, происходящие п антенне, на много порядков превышают радиационное затухание. Чтобы пояснить сказанное, вычислим коэффициент добротности, обозначаемый через Q и равный по определению
п_ M • (максимальная накопленная энергия)
рассеянная мощность
Добротность, связанная с радиационным затуханием, обозначается через Qr и равна
15с2
qB ^ • (8.25)
Для антенны, рассчитанной па (1)--=:271- IO71 при разумном значении mr'2 = \0 г-см1 формула (8.25) дает Qr-— 1 Or54. Для реальной антенны можно ожидать значения Q — IO6.
Следовательно, необходимо оперировать с системами, внутреннее затухание которых на много порядков больше, чем гравитационное радиационное затухание. При таких условиях средняя поглощаемая мощность будет зависеть от вида антенны. Для ориентации антенны, соответствующей максимуму приема, получим
KtfVoO2Ic,, - -1-?^ /от. - (8.26)
Из (8.26) и (8.18) следует, что величина Pa поглощенной мощности равна
l5r.Om2V [r\2 ^ ISKOmQln^ I г Iа
2
Pa = --ScDi' '»г =-----«"J----'/or- (8-27)
В формуле (8.27) Qu, представляет собой добротность, связанную с внутренними необратимыми процессами, так что Qin- wmjD[n. Следующее из (8.27) сечение S равно
ISnGmQh.'!21 г I2
s-=.....—тйг1-^ <8-28>
Для непрерывного спектра излучения поглощаемая мощность равна
А~ t' J J 2 (— w2m -(- iwD + k) (— w'2 m — im' D 4- k)
-t'ft -co 1
X OrW dio'dt -?TT2Grac-^2I/-I2Z0t (%)• (8-29)
11* 164
¦Глава 8
В (8.29) /or(w0) представляет собой спектр мощности ?ог в окрестности резонансной частоты со0.
Для дальнейшего анализа этих результатов нужно рассмотреть возбуждение сплошной среды гравитационной волной. Это необходимо для учета взаимодействия массы пружины с волной и для учета последствий конечности скорости распространения упругих сил по пружине.
3. Взаимодействие кристалла с гравитационной волной
Исходным пунктом в нашем анализе будет уравнение (8.10). Бесконечно малый вектор ге'1 соединяет некоторую точку отсчета в кристалле с ее соседней точкой. Будем считать, что масса т заключена в бесконечно малом объеме, окружающем эту соседнюю точку. В правую часть уравнения (8.10) теперь должны входить как упругие, так и дис-сипативные силы. Представим Wix в виде
n* = г11-ИД". (8.30)
причем г'1 определяется из условий
-Si- = O (для всех S), (8_31)
Г11-»»11
в пределе большого внутреннего затухания и плоского пространства. Теперь уравнениям (8.10) можно придать вид
^ uuul , ^b 4- m^ A-
iSs2 Ss Ьх" Ъх* '
+ Я,в|1? С" + °ЛТ) VaV* = 0- (8-32)
Мы будем полагать, что наш кристалл изотропен. Второе слагаемое характеризует здесь внутреннее затухание, а третье — упругие силы. Величины В и Ka'1 нормированы на единичную плотность массы. Вновь Ua—единичный вектор, касательный к мировым линиям. Так как rv' выбирается произвольно, можно записать
4-?bK' I у«-' 53(V" I о //V7P-L.
+ (8.33) Детектирование и генерация гравитационных пп.ін
165
Четвертое слагаемое в (8.33), очевидно, симметрично по индексам I1A и V, последнее же слагаемое обычно можно опустить, так как оно на много порядков меньше четвертого. Поэтому можно написать следующие уравнения для тензора деформации, представляющего собой симметричную часть Oiiv:
(СИММ.) , _ Klli4 (СИММ.) . yif (СИММ.) ^
ох2 о.ч их ол-
(8.33а)
Рассмотрим теперь частный случай уравнения (8.33а), а именно возбуждение продольных акустических волн. Рассматривая волны, распространяющиеся в направлении оси х1 в ортогональной системе координат (в которой направление оси времени является касательным к мировой липни наблюдателя), получаем приближенно
