Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-?^-+ /^//VfZ7=O. (8.10а)
Когда справедливо уравнение (8.10а), рассматриваемые частицы движутся вдоль геодезических. Уравнение (8.10а) следует называть уравнением геодезического отклонения.
2. Квадрупольный массовый детектор
Чтобы рассмотреть поведение принимающего устройства (детектора)1), изображенного на фиг. 11, представим себе две мировые линии двух образующих детектор масс. Определим вектор я7 как
/^==^+57. (8.11) где г1 определяется из уравнения
-Г—-=: 0 (для всех S), (8.12)
в предельном случае большого внутреннего трения (большого затухания) и выполнения равенства Rilol4s=: 0 для всех компонент тензора Римана. Тогда уравнение (8.10) принимает вид
. -Sr + a-vw (г* + = л <8 -13>
Здесь через мы обозначили разности негравитацион-ных ,сил взаимодействия для двух масс. В качестве /11 мы рассматриваем в данном случае совокупность возвращающей („упругой") силы — k^J? и силы, обусловливающей затухание, — CDm0 (S^/Ss). Тензоры и D^a описывают
') До некоторой степени подобное этому устройство было независимо предложено Г. Бонди на конференции в Руайомоне в июие 1959 г.
Фиг. IfiO
Г лава 8
свойства пружины. Теперь можно (8.13) зависать в виде
R2:IJ. nil л,!*
Bs2 ^ cm Os ^ тс2 4 * u ^ т"5 >'
(8.14)
Пусть время возрастает в направлении, касательном к мировой липни центра масс. Тогда наш осциллятор находится в состоянии свободного падения. Используя систему координат, в которой символы Кристоффеля равны пулю, можно уравнение (8.14) представить в приближенном виде (при $-Cgc^r)1) следующим образом:
4f»-+ ¦ЧГ+ пГ Ї = - c2/V • (В. 15)
Отсюда видно, что роль движущей силы для гармонического осциллятора выполняет тензор Римана. Измерение амплитуды смещения или поглощаемой мощности позволяет вычислить некоторые компоненты этого тензора 2).
Из уравнений (8.15) следует, что из гравитационного поля всегда можно получить энергию, если фурье-образ R10J0 отличен от пуля в локально лоренцовой системе, движущейся
') Если частицы свободны, второе и третье слагаемые в (8.15) обращаются в нуль. В п. 2 гл. 7 мы показали, что для локально плоской волны, распространяющейся в направлении оси х', величины Riimo равны нулю. Отсюда и из (8.15) в этом случае следует, что если вектор, соединяющий две близко расположенные в пространстве свободные частицы, ориентирован в направлении распространения рассматриваемой волны, то относительные смещения частиц отсутствуют. В случае свободных частиц максимальное относительное смещение имеет место, когда частицы расположены в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Этот вывод был опубликован в работе Пирапи.
г) Пирани [З, 1] рассмотрел вопрос об измерении тензора Римапа путем сравнения ускорений свободных пробных частиц. Однако полученные в данной главе результаты показывают, что практически должны использоваться взаимодействующие между собой частицы.
Исследуемая в п. 2 гл. 8 связь между разностью потенциалов, возникающей в пьезоэлектрическом кристалле, и величинами R10J0 может послужить основой для обсуждения измерительных проблем в квантовой общей теории относительности. Необходим кристалл весьма малого объема, поскольку длина волны акустических резонансных колебании на пять порядков меньше, чем длина соответствующей гравитационной волны. Детектирование и генерация гравитационных пп.ін
161
пдоль геодезической линии. Эта геодезическая будет, следовательно, мировой линией центра масс нашего гармонического осциллятора.
Рассмотрим теперь падающие иа детектор синусоидальные (случай приближения слабого поля) гравитационные волны. Пусть используется ортогональная сопутствующая система координат, в которой осциллятор ориентирован в направлении оси Xі. Представим себе, что тензоры A110, и D^a имеют лишь по одной компоненте: A11 = Ze и D11 = D. Произведя фурье-иреобразование уравнений (8.16), получим
51» =
(816)
„_Пк|l._JiR1M 4 '
(ш2 m — — ?5%)
Величина f'1 (со) достигает максимума при резонансе, когда — (u'-'wi -f- k = 0. Полная диссипация энергии D = Dex-I-Din складывается из внешнего рассеяния Dux и внутреннего поглощения Dtn, обусловленного необратимыми процессами в антенне. Мощность, передаваемая вспомогательному аппарату с Dcx, равна
А ш2п с2— W2C4 (R\Mr*)2 Dex С8 171
^х-® — о/Л і п ilZ
2 ~ 2(5^+6
і«;
Величина (8.17) становится максимальной при Dex = Din,, и это максимальное значение Pm равно
П TH2C4 (R Oaor0t)2 /о I QV
Pm =-Щп---• (»-1«)
Допустим теперь, что синусоидальные гравитационные волны излучаются массами линейного квадрупольного осциллятора. Из законов преобразования видно, что при малых скоростях значения величины Rilom в системе отсчета, связанной с центром масс излучателя, с достаточной точностью совпадают с ее значениями в системе, связанной с центром масс детектора. Исходя из решения для линейного массового квадрупольного осциллятора (и. 5 гл. 7), было вычислено среднее квадратичное значение R^oa0Ir", усредненное по всем возможным ориентациям приемника. Пусть для линейного массового квадрупольного осциллятора излучаемая через единичную поверхность на сфере радиуса г и усредненная
