Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если наблюдатель покоится, а тензор Римана относится к типу I, то / г з
(V^O--''
27
SaX2W-HZSllV+
о5» * + v % 0X+L
* + 2j
"х+2
Г)
¦«vielte)- ^із5>
X=I J
Для тензора Римана типа II
= ± t«a<" 425;+1бЗ^З;+223,^+225Д;) + 4ао
- W + Se2 (3,° + 8/) (V ~ V) Jtzr ¦ (7-136)
15. Другие волновые решения из типа Il Петрова
Тетрада, называемая иногда 4-репером, или тетраподом (quadruped, tetrapod, vierbein, four nnple) представляет собой совокупность четырех единичных векторов, которые могут быть введены в любой точке и определяют локально лорен-цову систему'). Из этих векторов три простраиственно-
') Переход к локально лоренцовой системе координат х 1 можно совершить с помощью преобразования dx'" = ^dx* в случае, когда ,
іл\ дх а OX 1 (д-v V1 „«З
S ' =^-T-IT -T-T- g =3A(K)^(S)V = O V Ox дх152
Г лана 7
(7.138)
подобны и перпендикулярны друг другу, а также направлению времени, определяющему четвертый вектор. Векторы такой тетрады обычно записывают как ^a,1*, где и. — векторный индекс, а (а) задает нумерацию этих векторов.
Перес нашел другой класс волновых решений уравнений R^4 = 0, обладающий меньшей симметрией, чем плоские и цилиндрические волны. Его метрика имеет вид
— ds2 = dx2-\-dy2-{~dz2-{~2F(x, у, z-\-x) (dz + dz)2 — dx2.
(7.137)
Уравнения поля сводятся к следующей системе:
я» - Я„ = Я„ = F. хх+F. уу = о.
и поэтому удовлетворяются, если F — гармоническая функция. Тетрада ортонормированных векторов вводится с помощью соотношений
W1 = O+/*. 0^
1^ = ( 0, cosa, sin a, 0 ),
).(2,^ = ( 0, —sin a, cos a, 0 ),
Iw* = ( F, 0 0 1 — F),
где tg 2a ~ Fi xy/F xx. Отличные от нуля компоненты тензора Ray 5 в системе отсчета нашей тетрады равны
O = R^i = -RvM = V KJFTfTJ 139)
при р. и V, рапных только 3 или 0. Поэтому данный класс метрик относится к типу И Петрова. В случае
F = (X2 — у2) sin (z -Ь т), о~2 sin (z + г) (7.140)
мы имеем плоскую волну. Решение и виде волнового пакета имеет вид
/-': -ху(л:24-у2)""2ехр {[b2 — (z + x)2]""2} при |г + х|<Л, F = 0 при 12 + " і > Ь.
¦ (7.141)
Мы покажем теперь, что все представляющие физический интерес волновые решения уравнений R1^ = 0 приближаютсяI риоатационные волны
153
к типу II. Любое представляющее физический интерес волновое решение, по-видимому, возникает в случае, когда имеет место локализованное распределение материи, и поэтому будет плоским па больших (но ие в космологическом смысле больших) расстояниях. Отсюда следует, что к нему применим анализ, приведенный в п. 2 гл. 7. Подчеркиваем, что наше определение локально плоской волны предполагает g = = JTTilv^=O, где индексы і и j соответствуют двум направлениям тетрады, перпендикулярным направлению распространения волны. Десять компонент тензора Римана (7.27) можно записать в каноническом виде, согласно правилу (7.124), как
Rab =
0 0 ООО 0
„1 1 „ 1 1 и —Y її "2^23,11 и — 2~ ю —"2 Ki
п 1 1 п 1 1
и "2 Й23, и 2 ^22,11 2 ^22,10 ~2 ^23, 10
0 0 0 0 0 0 „1 1 „ 1
и--2 ^23, 10 2 S221 10 и 2 ^22, 00 2 ^23'
„1 InI 1
и — 2 ^33,10 "2"^23,10 2 ^23.00 2 ^33,
(7.142)
Величины ^r23ll0 и ^23, до можно устранить соответствующим выбором ориентации четверки векторов отсчета. Из (7.142) видно, что рассматриваемая метрика относится к типу 11, причем а =р = 0. Отсюда следует, что все представляющие физический интерес гравитационные полны на больших расстояниях обладают метрикой, стремящейся к пулевому типу II Петрова с a = p = u. Так как (7.142) строго справедливо безотносительно к степени приближения, то это значит, что мы строї о показали принадлежность тензора Римана к нулевому типу II Петрова но всех точках, где гравитационная волна является локально плоской [26].
Робинсон и Траутмаи [27| дали несколько точных сферически симметричных решений, описывающих волны и соответствующих тензору Римана, снова стремящемуся к типу II154
Глава (і
Петрова (случай нулевого поля) на больших расстояниях. Их метрика имеет вид
ds2 = 2dр da + (tf — 2Яр — do2 —
-р2р-2 № + q,, do)2 + (dfi + <7,6 dan
Здесь функция т. зависит только от о, а р и q зависят от а, Ч п Tj. Величина H равна
н = p~lp,,+P {p~xq), E *—рч (р~1X E^;
К означает гауссову кривизну (см. гл. 3) на поверхности р = 1, о = const:
К = р2№р)Л^(\пр)іт]. В случае такой метрики уравнения R^ = О сводятся к
Ч.g + Ч, щ = О, К, ц -4- к, щ = ^-»(т, „ - ЗЯ/л).
Тензор Римана можно записать в виде
Яц»«? = P-3^11V0t?+ T2IHliVa3 + P-WllVap.
где D, III и N суть тензоры соответственно типов I (вырожденный), III и Il (нулевой). Они постоянны в ковариант-ном смысле на любом луче, на котором о, ? и г\ постоянны.
Полученные решения относятся к вырожденному типу I, если т.Ф О, а К не зависит от \ и этот случай можно привести к случаю, когда т = 1, р — ch [к и ^ = 0. Величина (а— либо действительная, либо чисто мнимая постоянная. При действительных отличных от нуля [А получается решение Шварцшильда.
При (К, ^)2 -(- (K1 J2 ф О и Pj1V = О решения относятся к ненулевым полям типа II или к полям типа III, причем тип III имеет место при т. = 0. Если же т. = 0 и К не зависит от f и TJ1 то решение относится к типу II и будет нулевым, либо плоским, причем случай плоского пространства определяется условиемI риоатационные волны