Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим одно важное свойство, которым обладает в пустоте электромагнитное поле медленной волны (например, поле в канале, упомянутом выше). В пустоте векторы Герца и составляющие электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению-(18.04). Рассматривая волну, бегущую вдоль оси г с волновым числом h, будем вычислять его поле с помощью продольных составляющих электрического и магнитного векторов Герца
П® = Пе (х, у) еІЛг, П» = Пт (X, у) е'Ч (58.03)
Тогда, как было показано в § 39 и 40, функции Пе и Пт будут удовлетворять двухмерному волновому уравнению
— + — +g2n = 0, g2=k2 — h\ (58.04)
dX2 ду*
В теории волноводов величина g2 была положительной, так как h2<c.k2. Для идеально проводящих линий первой группы h2 = k2 а g2 = 0 (см. § 29). Для медленных волн h2>k2, и поэтому разность k2—h2 отрицательна, а поперечное волновое число g является чисто мнимым. Введем вещественное положительное число р с помощью соотношения
p2 = -g2 = h2—k2, (58.05)
тогда уравнение (58.04) примет вид
Рассмотрим сначала случай, когда функция П зависит только от координаты х и, следовательно, удовлетворяет уравнению
— P2U=O, (58.07)
имеющему общее решение
П=Лем+?е-г>* (58.08)
где А и В — произвольные постоянные. Представим себе, что при *<0 расположена замедляющая часть системы, например диэлектрик, так что при х>0 координата х показывает расстояние точки наблюдения до поверхности диэлектрика. Если в решении (58.08) положить A = 0, то функция П=Ве~Рх убывает экспо-
213 нециально с удалением от поверхности я=0 вместе с соответствующим электромагнитным полем.
Волны, поля которых как бы прилипают к некоторой поверхности и убывают при удалении от нее по экспоненциальному закону (или близко к нему), называют поверхностными волнами. Мз предыдущего вытекает, что поле медленной волны образовывает в пустоте поверхностную волну. В дальнейшем мы будем неоднократно встречаться с этим свойством медленных электромагнитных волн. Поэтому медленные и поверхностные волны естественно рассматривать совместно и выделить передающие линии с такими волнами в особую группу. О практическом значении поверхностных электромагнитных волн в диэлектрических структурах будет сказано в § 61 и 62.
Исследуем теперь решение уравнения (58.06) в цилиндрической системе координат. Рассуждая как в § 22 и 39, можем написать
H = Pm(Z-)Cosrnq) или Il=Pm(^)Sin/Пф, (58.09)
где функция Rm должна удовлетворять уравнению
^ + - ^ - ( ^2+ ^Um= 0, (58.10)
dr2 г dr V г J
которое подстановкой у = рг приводится к виду
?^ +-L^m- 1+ ^Pm=O. (58.11)
dy2 у dr \ у2 j
Последнее уравнение переходит в уравнение (22.04), если положить х=\у, вследствие чего общее решение уравнения (58.11) можно написать в виде
если в качестве основных функций выбраны Jm и Nm. Однако при вещественных значениях у функции Jm(iy) и Nm(iy) будут, вообще говоря, комплексными, что неудобно для расчета и для физического анализа решения. Поэтому в качестве основных решений уравнения (58.11) берут две функции Im(у) и Km(у), принимающие при вещественных положительных у вещественные и положительные значения. Для функций Im и Km составлены подробные таблицы. Функция
называется модифицированной функцией Бесселя; при у = 0 она конечна и согласно формуле (22.05)
Rm = CJm(iy)+ С' Nm (і у),
Im (У) =Vn Jm (І У)
(58.12)
(58.13)
Функция
Km (у)= f іт+'Я<|) (іу)
(58.14)
214 называется функцией Макдональда; при г/<С>1 применимы приближенные формулы
Km (у)= (-YV = 1,2, ...), /C0 (У)= In— (58.15)
2 \ г/ У ?г/
(7=1,781...), (вытекающие из формул (22.08).
При больших у (точнее, при Il и у^т2) функции /т и Km можно вычислять по асимптотическим формулам
Im (У) = У ^ е», /Cm (г/) = j/ e-f. (58.16)
При возрастании у функция Im монотонно возрастает, а функция Km монотонно убывает. Поэтому если напишем общее решение уравнения (58.11) в виде
Rm=AIm(Pr)+ВКт(рг), (58.17)
то функция П, образованная по формуле (58.09), будет иметь по отношению к радиальной координате г тот же характер, какой имеет более простое выражение (58.08) по отношению к декартовой координате X. Из выражения (58.17) также получаются поверхностные волны.
При вещественных g волновое уравнение (58.04) имеет колеблющиеся решения, соответствующие функциям COS gx, Sing1A:, Iт(gr) или Nm(gr). В противоположность этому уравнение (58.06) имеет при вещественном р затухающие или возрастающие решения (58.08) или (58.17). Это легко понять, так как при вещественном g уравнение (58.04) соответствует распространению двухмерных волн в плоскости X, у, а при мнимом g (при g = \p) распространение превращается в затухание.
Заметим, что в силу соотношений (58.12) и (58.14) на функции Im и Km могут быть перенесены тождества, которым удовлетворяют обычные бесселевы функции. В частности, справедливы соотношения
I'o(y)=h (у), К'о(V)=-Ki (у). (58.18)
Электромагнитные волны замедляются не только диэлектриками, но и проводниками. Соответствующие системы будут рассмотрены ниже. Параграф 37 был посвящен лолоюковым и щелевым линиям, в которых волны замедляются магнитодиэлектриком (є> >1, р>1). В дальнейшем слишком длинный термин «магнито-диэлектрик» применяться не будет, но при исследовании диэлектрических структур будет сохраняться параметр р, придающий формулам симметрию.
