Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
, ,-V . I 4яо \ . . 4яа
div (е Е) = div є, E + і-E = div D + і-div j = 0
\ to j аз
яли
. ш .
—I —- div D + div j = 0, 4я
что в силу уравнения (Ia) совпадает с уравнением непрерывности (IX)I).
2. 'В однородное электростатическое поле параллельно ему помещен тонкий проводящий лист (толщина а, проводимость а), в котором возбуждается
S8 постоянный ток. Используя второе граничное условие (4.02), найти вектор Умова — Пойнтинга и связать его с джоулевым теплом, выделяющимся в листе. Решить ту же задачу, предполагая, что наряду'с магнитным полем от тока в листе имеется также однородное магиитостатическое поле, перпендикулярное электрическому и параллельное листу.
Решение. Направим ось х вдоль электростатического поля, тогда в проводящем листе —a/2<z<a/2 возбуждается объемная плотность тока /х = = CFEx и возникает магнитное поле с составляющей Hy. Обозначим через H~v значение Hy при z<—a/2, а через Н+у —. при г>а/2, тогда формула (4.02) приводит к соотношениям
Hy-Hf = -^oaEx, -^Ex(H--Hf) = OaEl
Правая часть последнего соотношения определяет джоулево тепло, выделяющееся в листе на единицу его площади, левая часть—поток вектора Умова — Пойнтинга к единичкой площадке листа. При отсутствии внешнего магнитного яоля потоки слева и справа симметричны (€>-г=—S+z>0, так как #+„= = —Н~у), при наличии внешнего поля H0v имеем
= + = V02 = -^ExHO.
3. Найти входной импеданс двухполюсника на рис. 3,8, а также лостоян-яую и колеблющуюся часть электромагнитной энергии в нем при гармонических колебаниях.
Решение. Импедансы Zі и Z2 верхней и нижней ветвей определяются выражениями:
1 1 — і сот
Z1 = R—і соZ. = /?(1 — ішт), Z2 = R —:—— =—R—:-,
ко С і шт
а импеданс Z всего двухполюсника
IIZ=MZl^MZi=MR, т. е. Z=R. Величины WnW соответственно равны:
где /—комплексная амплитуда тока, проходящего через двухполюсник.
4. Найти импедансы двухполюсников, изображенных на рис. 3,г н д, вычислить запас энергии в них при гармонических колебаниях и вывести формулы (8.02) и (8.04).
Решение. Верхняя и нижняя ветви .двухполюсника на рис. 3,5 имеют импедансы
1 \ V — і (со—?>r/a>)
^rr ^ '
= R—і ^caL0'
<
- =—і шв (ю) C6. (а) ш* + і Vto- ш* J
39 Электромагнитная энергия этого двухполюсника
W = -j- C0ItZI2 + -L (L0 +1/0)2 Cl) IZaJai Jt = UjZi,
где U — комплексная амплитуда напряжения. Отсюда .2
— 1
Для пустоты
1 +
(со2 - СО?)2 + V2 CD2
C0|l/|2.
(Ь)
W = -JC0\U I2..
16л
IEI2,
поэтому из формулы (b) следует искомое выражение (8.04). В формуле (Ь) слагаемое, пропорциональное ш2рсо2, соответствует магнитной энергии в элементе L0 (кинетической энергии электронов), а пропорциональное CO2pM2r — электрической энергии в элементе Ci (потенциальной энергии электронов).
Полагая шг = 0, из формулы (8.03) получаем (8.01), а выражение (8.04) переходит в (8.02).
5. Из формулы (8.11) вывести выражения (8.12). Полагая в двухполюсниках на рис. З ,а, г, д R = 0, показать, что формула (8.11) дает правильные выражения для запаса энергии в них.
Решение. Запас ,магнитной энергии в катушке
1 d
Wu
¦[<D|1 (CD)IL0 И2,
4 d со
откуда следует второе выражение (8.12). Запас электрической энергии в конденсаторе вычисляется по формуле
1 dX \U\2 1 d! 1
U7 =-
4 d со Xі
что .ведет к первому выражению (8Л2).
Двухполюсник на рис. 3,а при R = 0 имеет реактанс
X = CoL-1 /со С, dX/da> = L + 1 /to3 С,
поэтому
W = -L (L + 1 /со2С) |/|2. 4
Для двухполюсника на рис. 3,0 ,2 \
4 {da \ X I 4 da
_1_ X
поэтому W =
¦= -со 1-
со:
Coz—со;
C0,
1
4 dco
1 \ 1 Т W = T
1
>2 + « Ir
-?)1 J"
It/I2.
что при v=0 совпадает с формулой (b) задачи 4. При сог=0 получаем соотношения для ірис. 3,г.
40 6. Вывести формулы (9.03) и (9.07) из уравнений Максвелла (I) и (II) s(§ 1), полагая в них j=0.
Решение. Пользуясь формулой (6.04) для напряженкостей E и H (а не для комплексных амплитуд), мы получим соотношение
4я V dt dt j
Считая, что поля суть ,периодические функции времени (период Т), проинтегрируем обе части этого соотношения по t; получаем
т
— j divSA = 9(i + ?e (а)
о
где
1 rru d? ^ 1 гГс ^ <7„ =-( H —- dt, о =-\ E-dt,
4я J dt 8 4я 0J dt
причем ^ji и qs при желании можно переписать в виде (9.03) и (9.07). Интегрируя соотношение (а) по произвольному объему V, приходим к соотношению
о
Слева стоит энергия, поступающая в 01бъем V извне за период; поскольку при / = 0 и t=T поля одинаковы, то это значит, что электромагнитная энергия при / = 0 и t = T одна и та же. Следовательно, поступившая за период T электромагнитная энергия должна превратиться в другие формы энергии. При гистерезисе вещество нагревается и величины q^ и qe дают количественную меру выделяющегося тепла.
Глава II.
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
§ 11. Плоские волны в однородной изотропной среде
С помощью комплексных уравнений поля исследуем прежде всего распространение монохроматических плоских электромагнитных волн в однородной среде с постоянными комплексными проницаемостями е и р. Плоской электромагнитной волной называется электромагнитное поле, векторы которого в каждый момент времени принимают постоянные значения на системе параллельных плоскостей. Таким образом, если выбрать ось z перпендикулярной этим плоскостям, то в монохроматической плоской волне комплексные амплитуды полей E и H будут зависеть только от координаты 2, но не от координат X и у.
