Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же, зная только комплексные проницаемости е(©) и ц(<й), нельзя ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОТНОСТИ энергии Wg И W1X в данной среде. Сказанное можно иллюстрировать двухполюсниками, изображенными на рис. 3,г и д. Возьмем конденсатор, который в отсутствие диэлектрического заполнения имеет емкость Со. Если его заполнять веществом с диэлектрической проницаемостью 8(со), то получится двухполюсник с импедансом Z (со) = i/w? (о) Со. Импеданс Z (со) определяется как отношение комплексных амплитуд U {a)/J {а). Беря в (со) в виде
соответствующем плазме, будем иметь такой же импеданс, какой имеет схема на рис. З.г при L0= 1/ю2РС0, R=^L0. Подсчитывая полный запас энергии в этой схеме, для плотности электрической энергии в плазме получаем
(8.02)
29 То же самое следует из микроскопических соображений, причем слагаемое, пропорциональное ю2Р, обусловлено кинетической энергией электронов, движущихся в такт с электрическим полем. В схеме на рис. 3,г кинетической энергии соответствует магнитная энергия в элементе Lq.
Если в схеме, изображенной на рис. ЗД положить Ci = = ©2рС0/л)2г, a L0 и R взять такими же, как для рис. 3,г, то импеданс такого двухполюсника будет равен импедансу конденсатора Со, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью 2
е (со) = 1--E-, (8.03)
CO2 + І VCO — (i?r
т. е. диэлектриком с упруго связанными электронами, имеющими резонансную частоту сог. Суммируя энергию в элементах C0, L0 и Cu найдем плотность энергии в таком диэлектрике:
^1°2 + ^ |Е|2. (8.04)
- 1
Wft =-
8 16я
1.
Вывод формул (8.02) и (8.04) дан в задаче 4. Они согласуются с микроскопическим анализом, приводящим к формулам (8.01) и (8.03). Однако с чисто макроскопической точки зрения можно лишь утверждать, что выражения (8.02) и (8.04) дают минимальную плотность энергии, совместимую с формулами (8.01) и (8.03) для є (со). В самом деле, элементы R на рис. 3,г, <3 допустимо заменить, оставляя Z (со) и е(со) прежними, более сложной схемой (рис. 3,?), а тогда в выражениях (8.02) и (8.04) появятся дополнительные слагаемые.
Металлические проводники обычно характеризуют (см. гл. IV) чисто мнимой проницаемостью є=і4л:а/(о (o=const), в этом случае импеданс Z=l/4jtcxCo сводится к сопротивлению, не зависящему от частоты; ему соответствуют эквивалентные схемы на рис. 3,6 и в.
В идеальных двухполюсниках, не имеющих потерь, вся подводимая мощность идет на увеличение электромагнитной энергии W и соотношение (5.25) принимает вид
SP = dW/dt, (8.05)
а импеданс Z(co) чисто мнимый: Z(co) =—iX(co). Поэтому переменная часть энергии определяется формулой
W = -J- /(со)U(со) = /2(со). (8.06)
4со 4со
В идеальных средах (без потерь, е"=0 и р"=0) переменная часть плотности энергии определяется формулами (7.14).
В энергетических соотношениях для гармонических колебаний постоянная часть электромагнитной энергии отсутствовала. Это отсутствие совершенно естественно, так как при строго лериоди-ческих процессах постоянная часть энергии электромагнитного 30 поля неизменна. Она является фиксированным запасом энергии, который образуется в процессе установления периодических колебаний и освобождается при их прекращении. Для вычисления этого запаса необходимо рассмотреть соответствующие переходные процессы, что и будет сделано ниже. Ясно, что такие процессы не могут быть характеризованы одной частотой и для полного их исследования необходимо в общем случае пользоваться интегралами Фурье (2.16).
С помощью искусственного приема можно рассмотреть процессы нарастания или постепенного прекращения колебаний, минуя интегралы Фурье: для этого достаточно брать в уравнениях монохроматических колебаний вместо вещественной частоты со комплексную частоту
Q=Co-HY. (8-07)
Б зависимости от знака у будем иметь колебания, экспоненциально возрастающие (при v>0) или затухающие (при у<0) во времени. Если величина у достаточно мала, то колебания являются почти монохроматическими и позволяют исследовать медленное изменение средней за период энергии поля.
Здесь не будет рассматриваться произвольное электромагнитное поле с комплексной частотой Q; ограничимся двухполюсником с чисто реактивным импедансом Z (со) =—Uf (со). Этот двухполюсник может быть катушкой индуктивности с сердечником, имеющим вещественную магнитную проницаемость (тогда Z=сор (со) Lo), либо конденсатором, заполненным диэлектриком с вещественной диэлектрической_ проницаемостью (тогда X=— 1/©е(©)Со). Вычислив энергию W в соответствующем двухполюснике, будем знать, какова плотность энергии в среде с проницаемостью р(со) или е(со).
При малых у средняя за период энергия W пропорциональна e2vt, поэтому
ЩГ) = ^-=2у?. (8.08)
Для комплексной частоты Q импеданс Z (со) приобретает малую вещественную часть:
Z(Q)= — iX(Q)~— iX(co)+v dX{w) (8.09)
d со
?P(i)=~Re[J* (Q) U (Q)] =-i- ReZ(Q)-|/(Q)|2 =
= T^T1IyW (8-10)
I а со
Сравнивая соотношения (8.08) и (8.10), видели, что при ^-ИЗ запасенная в двухполюснике энергия
^ = T-jTl IyHI2, (8-11)
4 da
