Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Без крайней необходимости мы не будем выписывать явно аргументы x и ядра единичных операций — иначе формулы станут столь громоздкими, что при всем желании будет трудно что-либо понять. Мы надеемся, что заинтересованный читатель без особого труда разберется в расстановках аргументов, руководствуясь простым ,,законом сохранения": полное число аргументов x должно быть одинаково в обеих частях равенства.
Дифференцируя равенство (18) по ?s и опять сравнив коэффициенты при ф", получаем
b4n^ko% = an_k^klsL (20)
Производные o?/oa не имеют простого вида — для их вычисления нужно обращать матрицу (19). В дальнейшем из обратных производных нам понадобятся только 6?n/oa?„ при п^т. Эти производные легко вычислить вследствие треуголь-ности матрицы (19):
^п^т = т]-%т ПрИ П-<: Ul. (21)
Приведем еще одну полезную формулу, которая следует ИЗ (19):
oo cc
О Ж ^ OCtn 0 1 \1 о
63,
л-=1 n=k
Если функционал, на который действует эта производная, зависит лишь от ап с п^т (как и будет у нас), то суммировать нужно до п = т.
Возвратимся теперь к уравнениям движения (14) и постараемся переписать их в терминах Г. Для линейного уравнения Швингера это можно сделать сразу же с помощью соотношений (9), (11), (13):
т со
5Т Vl' оГ , . , Vl л о Г
> а,
Ta1 " ^Tj J2n + Am+l*m + Ап ЪАЛ_Х ~ 0< ^
В этом уравнении Г считается функционалом первых функций a = {ai... am} и старших потенциалов А". Сравнивая с (22), видим, что сумма всех производных по а собирается в произ-
202
водную по ?i, так что для Г в переменных ? = {?i... ?»,} и А" уравнение (23) принимает вид
CC
ЪТ Лт+1а,пі- V An . (24)
п—т-\ 2
Несвязная переменная аш в правой части предполагается выраженной через независимые переменные ? соотношением (15) с п = т.
Перейдем теперь к уравнениям связи (14) и разобьем их на две группы: уравнения с п^т и уравнения с п>т. Займемся сначала уравнениями первой группы. Их правые части Hn являются известными полиномами от связных функций P1. . . ?m. являющихся нашими независимыми переменными. С другой стороны, левые части этих уравнений сводятся к а согласно равенству (9); выразив а через ? по формулам (15), мы получим вместо содержательных уравнений простые тождества.
На первый взгляд это кажется странным, но дело в том, что при получении соотношений ч( 15) мычв сущности воспользовались уравнениями связи и потому не удивительно, что совместное использование этих уравнений и соотношений (15). приводит к тождествам. Отсюда ясно, что соотношения (15) с т в действительности эквивалентны уравнениям связи первой группы и задача состоит в том, чтобы представить заключенную в уравнениях (15) информацию в виде некоторых уравнений для функционала Г. Начнем с того, что напишем тождества
ik — "5л7~~ ^ 'Щ'Ж'9 /е—1, 2, ... , т. (25)
Подчеркнем, что эти уравнения не содержат в себе никакой информации о виде функционала .Г: это тождества, выражающие лишь тот факт, что переменные A' = {A1. . .Ат} заменены на р EEE {р}]. .. ?m}. Но если мы сумеем объединить тождества (25) с уравнениями (15), то мы тем самым введем в систему искомую информацию и можем получить нетривиальные уравнения для Г.
Именно так мы и поступим, воспользовавшись в (25) рекуррентным соотношением (15): o?n/бЛі = ?n+b Поскольку в (25) п^т, то лишь одна производная o?m/бЛі не является независимой переменной. Мы можем ее исключить, разрешив уравнение (25) ck = т относительно ??n+1 и подставив полученные выражения в остальные уравнения с k<m:
га—I
^ = 3^/3.4, = -^^.^(^)-1, (26)
П-l
203
Ik
w-I
V
bAk
'4п
ЬА
т
ЬЛт\-і lAk
03
п
я q 0 3
(27)
л=1
Выразим теперь переменные An через Г с помощью (11):
5Г
53о оТ
(28)
5 = 1
В частном случае k = т, учитывая (21), получаем
ат= -т\.ьг/^т.
Дифференцируя выражения (28), (29), находим
(29)
ЬА,
т
о j
п
г
53«
ns
ogf;
+ г.
о
0?
oai
(ЗО)
ЬАт І ЬА
т
°р/г
64
1 _оЛ
¦ч г.
= 1
Г
od
1^5
ms Ьак
+ г,
о
й о
/7z
oak
(31
5-1
ЛОТІ /Л о "N О
где ГЯ = 8Г,8?Я и Г
Из треугольности матрицы производных S3 Sa ясно, что ?, выражается через arcr^5, следовательно, производная S?^/o^ выражается через аг с r<;s — /г, а в переменных ?— через 3Г с r<5 — Учитывая, что в (31) s—k<Cm, заключаем, что» производная по ?w в правой части (31) равна* нулю, так что слагаемое с V3 можно отбросить. Подставив затем (30), (31) в (27), получаем
т-\ т
-В
5] ^+"1 1С \®ns "^7+ г
(32)
/2=-1 O = I
где Qns = Yns—Гл/яГдаі,Г/Л5. Система (32) содержит m —І независимых уравнений, т. е. ровно столько же, сколько была уравнений связи первой группы. При k = т (32) обращается в тождество.
Чтобы упростить уравнения (32), свернем их с соответствующей производной 6a/./5?r и просуммируем затем по k or 1 до т. Слева, учитывая (19), получим —бщ а в правую часть войдут суммы -
tti
т
И
8fv
о
3?
oaA орг •» орг- орл \xoaA
Для вычисления второй из них перебросим производную б/бр на первый сомножитель. Получим
п
т
N Ь
0^r
т
b2%k
204
Первое слагаемое не дает вклада, поскольку выражение в квадратных скобках сводится к 6sr, второе слагаемое вычисляется с помощью (20), (22):
