Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
переместить с конца линии на сам блок. Например: Гг~-—(і^у~. В уравнения движения войдут величины
Otis = ^пь~ Гпт ^rnJ'ms^H^H ~ Н^^^^^зН
(48)
sV-• + mfisi •—(ti
—і
(49)
где Ьп2 и 6^2—-символы Кронекера. Величины Qns и Q71S различаются лишь тогда, когда хотя бы один из индексов п, s равен двум.
Теперь мы в состоянии записать уравнения движения для Г (у; А"). Линейное уравнение Швингера (24) сохраняет сзой вид, поскольку переменная yi = ?i не смешивается при замене ?->y с функциями ?n, п>1; несвязную функцию ат в правой части (24) следует теперь выражать через независимые переменные Y, а не ?, как в (24).
Для преобразований выше второго порядка первое из уравнений связи (33), (38), т. е. уравнение с г = 1, принимает вид [61]:
т-1
'—2 *-©^+ Д S-(T^-
(50)
208
Как и в (38), символ. —¦O при k= 1 понимается как
-і
Блок —(ГИ в (50) обозначает T2^ , т. е. про
изводную Г2 =—{?)— с ампутированной правой внешней линией. Остальные уравнения (33) с 2<^r <Гт—1 принимают вид
-SA
TL7 Ti*
(51)
Суммирование по s проводится от 2 до т, числа пг-, каждое из которых может принимать значения от 3 до т, указывают степени вершин, стоящих на сплошной нижней линии в последнем слагаемом (51). Суммирование производится по всем возможным вариантам расстановок этих вершин с тем условием, чтобы общее число идущих от них к блоку rs линий (пі—2 от каждой) равнялось числу свободных аргументов этого блока, т. е. s — г + 1 (всего у Ts имеется s аргументов, но г—1 из них
выведены в (51) направо). Величины An . nk в (51) являются симметрийными числовыми коэффициентами:
Asr
пх ... Гі
Sl
('-1)111(1,-2)!
(52)
Для третьего преобразования есть только одно уравнение (51) с г = 2, а сумма по s, п\... щ имеет вид
2
•-4—«
(53)
Для четвертого преобразования при г = 2 сумма имеет епд
+ J
+ 72
(54)
а при втором возможном значении г = 3 получим
(55)
Нам остается привести уравнения связи второй группы (35),
14 Зак. 102 209
что эквивалентно записи повышающего оператора менных у- Искомое представление имеет вид
3)
о
т
Т/г+1
3
OV
•А-=2
S) в пере-
(56)
Где ^2-— Y-1, а нужно понимать следующим образом:
T
**2 ^АХМ_,_ ¦
(57)
Согласно (15) S) является повышающим оператором для связных функций ?: iZ) = Действуя им последовательно на ?m = ?m(v)' мы найдем все старшие функции ?n как функционалы от Y и А".
Повышающий оператор для 1-неприводимых функций определен соотношением (1.219). В обозначениях этого параграфа
Ти+1
67)
I Л»
/г
1.
(58)
Для т>3 оператор iZ57 совпадает с выражением в квадратных скобках в (56) (в формулах этого раздела предполагается т > 3), а при построении S1 для второго преобразования ЗУ нужно взять в форме (34).
4. Линейные уравнения и их общие решения. Уравнение Швингера (24) является линейным неоднородным уравнением в частных вариационных производных, и его общее решение есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения — произвольного функционала от его первых интегралов.
Прежде чем проанализировать таким образом уравнение Швингера, выведем еще одно линейное уравнение для Г. Конечно, если такое уравнение существует, то оно является следствием полной системы уравнений движения, по в нашем случае проще и полезнее вывести его заново.
Это нетрудно сделать по общим рецептам § 1.7, написав:
0= f Г Do ^ [ср (л) ехр А (?)) -
OO
tr 1 + V ftAn
ЬА
п
п=1
G(A),
(59)
Число tri = fdxo(x—х) есть след единичной операции на пространстве полей ф(х) (,,размерность" этого пространства). При получении (59) мы вынесли множитель ц)(х)оА (ф)/6ф(Х) за знак функционального интеграла в виде дифференциальной операции.
і1 і о
Переходя к W = In G, находим
со
(60)
откуда с помощью (9), (11), (13) получаем уравнение для Г (а; А"):
т со
tr 1 - V.*a„ 4^+ V, пАп4і- = 0. (61)
2
/1=1
/г
оа
/г
/1=/72 +1
Теперь нужно сделать замену a-^?->Y- Мы проделаем необходимые для этого выкладки, поскольку они служат хорошей иллюстрацией техники, используемой при выводе уравнений движения для Г (у; А"). Имеем
т со т
ЬТ = V па V *** ЗГ
ні-
У,
п
qol
п
п
У,
(02)
/2 = 1
/2 = 1
Мы распространили суммирование по п до бесконечности, так как в (62) к < /я, а 8^оа/г = 0 при /г >/г. При /г = 1 вклад в (62) дает лишь слагаемое с п=). Поскольку ^1 = JS1 = Oi1, ясно, что производная Г по входит в сумму (62) в виде
Остается вычислить коэффициенты при производных с &>1. Учитывая определения (41), (43), можно написать:
со
со
V
п7.
°7#
о
я
оа
л=1
/г
со
/га
07 (ф)
/г
0(7
л = 1
ф=0
б{/
/1=1
(63)
В этом соотношении ^ считается независимой переменной, а ср = — о^/оф — функционалом от 0, зависящим параметрически
от Чп и тем самым от ал. Из (40) и (17) следует, что ?(cp) — срф = = 1па(<р) — ^1Cp — ср]>. Дифференцируя эту величину по ая, получаем следующее выражение:
я (ср)
/г
1 оа (у) o<p _*
с. (ср) 5ср
0?
п
»/11?
3
Sep
/2
(64)
При дифференцировании а (ср) учтено, что этот функционал зависит от ал как явно (отсюда первое слагаемое (64)), так и неявно через ср. Независимая переменная ф не дифференцируется, a 8P1ZSan = O111. Далее,
