Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
127
§ 2. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
1. Тождества Ворда — Славнова. Тождествами Ворда — Славнова называют различные дифференциальные соотношения, описывающие зависимость функционалов типа (8), (15), (20) от выбора калибровки. Их получают с помощью подходящей замены B-^B+ 6B переменной интегрирования, которую сопровождают, если нужно, бесконечно малыми преобразованиями параметров Л, с или п. Если в качестве замены переменной берется обычное калибровочное преобразование Ва-+ Ва + ?аи, то DB = DB'', oS(B) = 0, но 8u),(В)Ф0 вследствие неинвариантности функционала (11). Основная идея работы [30] состоит в том, что более удобна замена с oBa = &аМ~ху, имеющая вид калибровочного преобразования с зависящим функционально от В параметром и = M-1 ф (напомним, что УИ = /га®а). При такой замене вариация калибровочно-инвариантных величин в первом порядке по ср остается равной нулю, но якобиан преобразования DBf\DB теперь уже отличен от единицы, причем оказывается, что этот якобиан в точности компенсирует вариацию COf(B)1 т. е. произведение DB(Of(B) относительно такой замены инвариантно.
Если замена В В + SDM~Xу делается в интеграле (15), то нужно учитывать лишь приращения 8(BtfdпВ) = 2Bffdti3)M~1 -о — = 2BnTdo и о (AB) — A&)M~lo, что ведет к тождеству Славнова [30]
<2Д/Л/<р + А2)М~1<?> = 0. ' (21)
Символом <F> мы обозначили интеграл (15), под знак которого введен дополнительно множитель F. Этот множитель можно обычным образом вынести за знак интеграла в виде дифференциальной операции с заменой В->д/ЫА (см. п. 1.7.1).
При замене В-+-В + 2DM-Xy в интеграле (8) аргумент б-функции пВ + с получает приращение п2)М-1^ = ср, которое можно скомпенсировать сдвигом с —> с — ф параметра с в калибровочном условии. В итоге получим тождество, Ёыражающее вариацию функционала (8) при изменении параметра с через интеграл типа (21) от приращения единственной неинвариантной величины AB.
Аналогичные тождества для производящего функционала S-матрицы будут рассмотрены в следующих разделах.
2. Поперечность и калибровочная инвариантность S-матрицы в электродинамике. Электромагнитное поле есть поле Янга —-Миллса для однопараметрической абелевой группы Г. В этом случае преобразование (1) сводится к градиентному, функционал (11) обращается в единицу, а калибровочная инвариантность некоторого функционала F(B) означает его поперечность: F(B + ди) = F(B).
Рассмотрим функционал S-матрицы (20) с произвольным поперечным функционалом действия Sf = S, не зависящим от
128
выбора калибровки, т. е. от п и с. Из (20) видно, что при градиентном преобразовании А->А + ди изменяется лишь аргумент б-функции и это изменение равносильно сдвигу с-^с—пди параметра с: R(A + ди; п, с) = R(A; п, с — пди). С другой стороны, аргумент б-функции не изменится, если градиентное преобразование Л ->Л + ди сопроводить аналогичным преобразованием В В Л- ди переменной интегрирования; последнее не меняет функционалов S(B) и AKB вследствие их поперечно-сти, что и доказывает поперечность (вне массовой поверхности) функционала S-матрицы (20) и, как следствие, его независимость от с и независимость S-матрицы в обобщенной фейнмановской калибровке от выбора' способа усреднения, в частности от выбора ядра d.
Изменение /г-wz' вектора п в калибровочном условии также можно воспроизвести градиентным преобразованием В, положив: В' = В + ди, где и = (п'д)~х(п—п')В. Якобиан этого преобразования не единица, а некоторая константа, которая компенсируется соответствующим преобразованием нормировочной постоянной перед интегралом (20) (последняя в (7), (8) и (20) одинакова), и мы приходим к выводу, что нормированный функционал (20) не зависит от п. Тем самым мы доказали поперечность и калибровочную инвариантность (точнее, независимость от выбора калибровки) функционала S-матрицы (20) вне поверхности масс при любом поперечном действии S(B).
В реальной квантовой электродинамике помимо электромагнитного поля В имеется спинорное дираковское поле l|) (см. § II.3). Аргументами функционала S-матрицы будут теперь А,
т), т], где т] и т] — антикоммутирующие переменные, соответствующие фермионному полю \|), т|). Множитель перед интегралом в правой части (20) заменится на ехр i[AKA/2 + t]/('t|], где
<г\К'ц— функционал свободного действия (11.41) для фермионного поля, а интеграл (20) примет вид
const f D7J Db DB 8 [п (В — А) + с] ехр / X X[SOh 6, B)-AKB-ZlCTi-VK^b (22)
где S(4f>, В) —полный функционал действия для электромагнитного и спинорного полей. В квантовой электродинамике этот функционал инвариантен относительно совместного калибровочного преобразования
Ва Ва -f-Л/, ф -> ф ехр (Uu)1 фехр(—- Un). (23)
Константа связи є имеет смысл заряда фермионной частицы.
При нулевых значениях аргументов т|, ц все сводится к рассмотренному ранее случаю, только вместо градиентного преобразования поля нужно говорить о совместном калибровочном преобразовании (23). Это доказывает поперечность и независи-
9 Зак. 102
129
мость от выбора калибровки чисто векторной части S-матрицы* (диаграмм без внешних фермионных линий) вне поверхности
