Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
120
Это обстоятельство и является непосредственным препятствием для использования стандартной техники теории возмущений, основанной на формуле
\ DBF(B)t DB ехр ГiS0(B) + B-
DB F(В) ехр і S (В) =
(В) +B-^F(A) е
F(A) ехрiS0 (А)
A = O
(4)
в которой S(B) = S0(B) +SV(B)—полное действие (3), F— произвольный функционал. В обычных условиях гауссов интеграл в правой части (4) берется и дает операцию приведения ехр [1/2- (6/оЛ) A (6/oA)] с А = iK~\ что позволяет строить стандартные диаграммные представления § 1.4. В нашем случае вследствие вырожденности ядра К операция Л = іК~1 не существует и гауссов интеграл в (4) теряет смысл.
В работах (27, 28] был предложен технический прием, с помощью которого интеграл в левой части (4) при калибровочно-пнвариантном функционале F (считается, что непосредственный физический смысл могут иметь лишь калибровочно-инвариант-ные величины) можно преобразовать таким образом, чтобы не испытывать впоследствии трудностей с построением теории возмущений. В основе лежит наблюдение, что интеграл от инвариантной величины пропорционален объему группы инвариантности, в данном случае калибровочной. Бесконечный множитель JDQ(x) нужно сначала выделить явно и лишь потом строить теорию возмущений.
Прием состоит в следующем: рассматривается поверхность f(x; В) = 0 в пространстве всех полей В(х). Поверхность задается матричной функцией f(x; В) = I.Tafa(x; В), коэффициенты
которой являются некоторыми функционалами от поля В (в дальнейшем аргумент ху f не выписывается); равенство нулю матричной функции понимается, конечно, как равенство нулю коэффициентов при всех генераторах Та- Поверхность / должна выбираться так, чтобы для любого В(х) нашелся и притом единственным образом элемент Q(Y) G Г*, для которого f(BQ) = = 0. Геометрически это означает, что любая орбита группы (т. е. множество точек Bq, Q пробегает Yx) имеет одну и только одну общую точку с поверхностью Для дальнейшего также существенно, чтобы эта общая точка всегда была точкой пересечения, а не точкой касания. Для тех относительно простых поверхностей, с которыми имеют дело на практике, эти условия всегда выполняются.
Следующее равенство определяет с точностью до множителя
функционал cof(B):
а
121
Функциональный интеграл J DQ ... следует понимать как интеграл по инвариантной мере на группе 1\, а символ 8 обозначает функциональную о-функцию, т. е. П 8 [/fl (лс; jB2)].
а, X
Вследствие инвариантности меры DQ определенный соотношением (5) функционал со/ является калибровочно-инвариантным;
постоянная в правой части (5) определяет нормировку со/, которая будет фиксирована позднее.
Для выделения объема группы из интеграла j DBF(B)=1
от некоторого калибровочно-инвариантного функционала F под знак интеграла следует ввести множителем левую часть (5), что равносильно согласно (5) введению постоянного множителя. В результате получим, что / = const J DB^DQ F(B)X
Xсо/(B)O[I(Bq)]. В этом интеграле следует поменять порядок интегрирования и сделать затем замену переменной В&-*В. Мера DB относительно такой замены инвариантна, поскольку калибровочное преобразование (1) является комбинацией трансляции и унитарного поворота; функционалы F(B) и со/(В) также инвариантны, и мы получаем искомое представление с выделенным объемом группы:
J DB F (В) = const [ J DQ] J DB F (B)Uf {B) 8 [ /(Я)], (6)
справедливое для любого калибровочно-инвариантного функционала F(B) при любом выборе поверхности f (говорят „при любом выборе калибровки").
Введение б-функции под знак функционального интеграла в (4) приведет к возможности использования теории возмущений, поскольку гауссов интеграл с б-функцией
С[Р(А) == const J DB 8 [/(В)} ехр і
у BKB+ AB
(7)
оказывается хорошо определенным (см. следующий раздел). Нормировочную постоянную в (7) мы будем фиксировать условием G/°)(0) = 1.
Эти рассуждения наводят на мысль определить производящий функционал функций Грина поля В формулой
0,H) = COnStJDA 8 [f(B)] Zf(B)ехр/[S(B) + AB] (8)
с нормировкой Gy(O) = I для свободной теории. Функционал (8) зависит от выбора поверхности f, поскольку добавка AB к показателю не является калибровочно-инвариантной. С этим нужно примириться, так как дело не в определении, а в самой природе рассматриваемого объекта—функции Грина поля не явля-
122
ются калибровочно-инвариантными величинами. Непосредственный физический смысл имеет лишь 5-матрица на поверхности масс (точнее, ренормированная 5-матрица), которая описывает реальные процессы рассеяния, и лишь от этого объекта мы можем ожидать калибровочной инвариантности, т. е. независимости от калибровки. Так оно в действительности и оказывается.
Формула (8) отличается от обычного представления (1.164), во-первых, наличием 6-функции, которая сводит интеграл по всем полям В к интегралу по поверхности f, и, во-вторых, появлением дополнительного множителя со/, что равносильно добавке oSj(B) = —ilnco/(?J к функционалу действия (3).
В заключение напомним, что строгое обоснование формулы {8) содержится в общей теории квантования систем с вырожденными лагранжианами.
