Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ґ < t1, то собственные значения Kq1K становятся функциями Ґ, а фокаль-
8 Зак. 102
113
ные точки по определению суть те, в которых одно из собственных значений обращается в нуль (в многомерном случае нуль может быть кратным). Из классической механики известно, что при достаточно малых V—тг все собственные числа положительны, а с ростом Ґ изменяются строго монотонно. Поэтому число отрицательных собственных значений при /' = ті равно числу "прохождений через нуль" для задачи' с переменным верхним пределом V < x1.
§ 5. ПРОСТРАНСТВО E(A) ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ
При вычислении гауссова интеграла в (54) однозначность определения функции Грина iK~l достигалась постановкой краевых условий. В случае бесконечного интервала времени аналогичную роль играют асимптотические условия при t-+± оо для функций, по которым производится интегрирование. Как объяснялось в п. 1.6.4, эти условия содержатся в требовании <р??(Д), где E(A) —линейное пространство, состоящее из функций вида ІАА, А? Е, E — пространство хорошо убывающих функций с должными свойствами вещественности, Д — наперед выбранная функция Грина, которую мы хотим получить при вычислении гауссова интеграла. В качестве Д мы всегда берем определенную соотношением (1.28) хронологическую свертку и в этом случае асимптотиками функции ф = і AA при ?->±оо являются соответственно ф(+) = тЛ и щ~) = і ултА, где п — простая свертка, к = ±1 в зависимости от статистики. Обе асимптотики ф(±) являются решениями уравнения Kq = 0.
Мы хотим сейчас описать явно эти асимптотики для различных конкретных теорий. Начнем с рассмотренного в п. 1.1 кван-товомеханического осциллятора. В этом случае двумя базисными решениями свободного уравнения Kq = 0 являются гармоники ехр(±?со?), а асимптотики ф(і), как ясно из (4), имеют вид ехр( + /(о/), причем константы с{1)и С(_) взаимно сопряжены
вследствие вещественности входящей в определение обеих асимптотик функции Л ? E (но при этом функции q = i AA^E(A) оказываются комплексными — см. по этому поводу замечание в § IV.2). Так же обстоит дело и в других бозонных теориях осцилляторного типа, например в теории вещественного скалярного поля (§ 3): асимптотика ф(+) является произвольным отрицательно частотным решением уравнения Клейна — Гордона,, а — ф(_) — сопряженным положительно частотным решением.
Обратимся теперь к рассмотренной в п. 1.2 квантовой механике свободной частицы, не принадлежащей к теориям осцилляторного типа. В этом случае двумя 'базисными решениями свободного уравнения являются \ и t, а для асимптотик ф(±> с помощью (8) получаем ф(+) = С(+), ф(_) = c^t, где Сщ — произвольные вещественные константы. Эта теория отличается от осцилляторной тем, что все функции пространства E(A) оказываются вещественными, а асимптотики при ± оо совершенно независимы.
114
В случае рассмотренной в § 2 нерелятивистской теории свободное уравнение движения является уравнением первого, а не второго порядка по времени. Поэтому для каждой из функций я|), г|)+ на одну степень свободы приходится только одно решение, а именно ехр(—Ш) для и ехр (ist) для г|)+. В таких теориях одна из асимптотик каждой из функций -ф, if>+ оказывается нулевой, а другая — решением свободного уравнения; нулевая асимптотика будет либо при t ->- оо, либо при t —>—оо, в зависимости от того, заполнен или нет рассматриваемый уровень, а соотношения взаимной сопряженности связывают асимптотики iJ)(+) и » и наоборот. В фермионных теориях разным
вариантам заполнения уровней соответствуют разные пространства E(A), и выбор E(A) однозначно определяет функцию Грина Л = іК~1 в интеграле (1.162).
Полезно отметить, что асимптотическое поведение функций из пространства E(A) весьма существенно с точки зрения метода стационарной фазы, о котором говорилось в п. 1.6.6. Рассмотрим в качестве примера вычисление этим методом производящего функционала S-матрицы на поверхности масс. Как пояснялось в конце п. 1.6.6, для определения искомой точки стационарности нужно найти решение классического уравнения движения, принадлежащее многообразию E(A)+f, где / — некоторое фиксированное решение свободного уравнения движения. Допустим для конкретности, что речь идет о квантовой механике п. 1.2, где решениями свободного уравнения являются линейные функции а + Ы, а пространство E(A) состоит из функций с асимптотикой с при t—>- оо и c't при / ->—оо, причем с и с' произвольны. При хорошем потенциале решение точного классического уравнения имеет свободные асимптотики a>(±) + b(±)t и условие q>?E(A)+f фиксирует лишь два из четырех параметров асимптотик, а именно и а(_). Если бы мы заменили E(A) пространством хорошо убывающих функций Е, то тем самым мы пытались бы фиксировать все четыре параметра асимптотик и искомой траектории за редкими исключениями (отсутствие рассеяния) не существовало бы.
Отметим также, что рассмотренный пример ясно свидетельствует о неудовлетворительности такой ситуации, когда,точное и свободное классические уравнения имеют асимптотики разного типа,* на что уже указывалось в п. 1.6.5.
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ФАЗОВОМУ
