Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В диаграммах G введение X сводится к умножению на X каждой из линий и делению на X каждой из вершин (123), так что диаграмма получает множитель X в степени N—V, где — число линий, V — число вершин. Для связной диаграммы величина p = N—У+1 есть число петель, т. е. число независимых замкнутых контуров в диаграмме. В трансляционно-инвариант-ной теории р есть число независимых импульсов интегрирования: каждой линии приписывается импульс, 6-функция по импульсам в каждой вершине, выражающая сохранение импульса при взаимодействии, уменьшает число независимых импульсов на единицу, но полное число независимых импульсов равно N—а не N—V, поскольку одна (в связной диаграмме) б-функция выделяется в виде общего множителя, выражающего закон сохранения внешних импульсов.
Отсюда ясно, что разложение Wi = InGi по степеням X
(A) = X-1 Tg°_Q\pWip)(A)
(171)
является одновременно разложением по числу петель: общий член ряда есть сумма всех связных диаграмм, имеющих р петель.
Рассмотрим теперь процедуру вычисления интеграла (170) по методу стационарной фазы. Допустим, что для любого фиксиро-рованного А ?Е функционал 5(ф)+фА имеет единственную точку стационарности ty = ty(A) в пространстве E(A), по которому производится интегрирование в (170). Разложив тогда показатель экспоненты в (170) в ряд Тэйлора в точке стационарности
69
\|) и сделав затем сдвиг ср-мр + г|), не меняющий области интегрирования ввиду линейности ?(Л), получим
O1 (А) = ехр ИГ1 [S(H + ¦Ml с, J1 Df X
X^*"1 *")• 072,
Входящий сюда интеграл, умноженный на нормировочную постоянную dw
(173)
r-i f ^ Г і (ф) 2
представляется обычным образом в виде суммы единицы
и всех графиков с линией хД и вершинами IT1Jtn, п^>3, где
д _
д-1 1-1
&фз
и jrA=A«5v(^)/8^, /г>3.
Логарифмируя равенство (172), получаем
Wx {A) = Д-1 [S (ф) + фА] + In (q/^) -f W\ (А), (174)
где W7X (А) обозначает сумму всех связных графиков, линии и вершины которых определены выше. Классифицируя эти графики по числу петель, напишем
Wx (A)=I'1 ^2lpWip) (А). (175)
Разложение начинается с /? = 2, так как любой график W имеет не менее двух петель ввиду отсутствия вершины Jf1; по
той же причине число графиков W с заданным р конечно для любого р.
Вычислив гауссовы интегралы (163), (173) по правилу (161), получаем
- In [сх =- (x/2)trln(A_1A). (176)
Сравнивая затем представления (171) и (174)-(176), заключаем, что
W{0) (А) = і [S (ф) + фА], W{X) (А) = - (х/2) tr In (A" 1A) (177)
и Wip) (A)= W(P)(A) для /?>2. Таким образом, вычисление функционального интеграла в (170) по методу стационарной фазы автоматически дает разложение функционала W\—lnG\ в виде ряда по числу петель.
В линии и вершины диаграмм W в качестве параметра входит точка стационарности г|>, которая находится из уравнения
bS (ф)/8ф + А = /Сф + (ф)/8ф + A=O (178)
70
с дополнительным условием If)G^(A). Отметим, что установленная в п. 4 симметричность операции К на пространстве ?(А) •обеспечивает отсутствие внеинтегральных членов в вариации формы ф/(ф для вариаций бф из E(A) :б(ф/Сф) = бф-/Сф +
+ ф • /Сбф = 2бф • /Сф.
Уравнение (178) можно решать итерациями по степеням ¦S0, что приведет к представлению ij) в виде бесконечной суммы беспетлевых диаграмм, подстановка которых в правую часть
(174) возвратит нас, конечно, к исходному диаграммному представлению Wi(A). В теории поля беспетлевые диаграммы принято называть деревьями, в теории графов — деревьями Кэйли.
Применение метода стационарной фазы для вычисления интеграла (168), представляющего функционал S-матрицы, приводит к уравнению
К<? + bSv (<р 4- А)Щ = 0 (179)
с условием <р(*/:(А). Если аргумент А принадлежит поверхности масс, т. е. является решением свободного уравнения К А = 0, то в (179) можно перейти к переменной ф = ср-|-Л, для которой 85(^)^ = 0 с условием ty?E(A)-\-A. Непосредственно в (168) замена So(<p)So (<р + недопустима, так как <р/СА = 0, но AKy Ф КтА-у = 0 для ср (=.?(&).
7. Теорема Доминисиса—Энглерта. Интеграл (164) формально решает задачу определения функций Грина по заданному функционалу действия S(cp). Формальное решение обратной задачи можно очень просто получить, заметив [16, 17], что интеграл (164) является функциональным преобразованием Фурье, и написав формулу обратного преобразования (v — размерность пространства <р):
(2tt)vV exp fS(cp) = j DAG(A) exp (- щА). (180)
Для фермионов мы воспользовались обобщением формул (154), условия применимости которых выполнены, поскольку фермионное поле в действительности всегда комплексно и его размерность можно считать четной, а функционал действия всегда предполагается бозонным.
Сделав в (180) подстановку G = expW и переобозначив переменные, получим
(2<fc exp IS (- A) = J Dcp exp [ W (ср) + і Ay]. (181)
Сравнивая это равенство со (164), замечаем, что с точностью до нормировочного множителя правая часть (181) имеет вид производящего функционала функций Грина теории с действием S'(qp) =—IW(ср). Это показывает, что между функционалами SnW имеется некоторый дуализм: для теории с действием S функционал W представляет связные функции Грина,
