Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Правило (151) можно пояснить следующим образом. Интеграл является линейным функционалом на некоторое пространстве функций; последнее можно воспринимать геометрически,, считая исходную функцию /(ф) и сложную функцию /(ф(ф)К получающуюся при замене переменных ф = ф(г|>), различными представителями одной и той же точки пространства. Смысл формулы (151) сводится к тому, что интеграл также является геометрическим объектом, т. е. значение /(/) завискг лишь ог выбора самой точки /, а не ее представителя. Это требование и определяет закон преобразования Dq = JD^ дифференциала объема.
Для нахождения / в частном случае линейной замены возьмем в качестве / старший моном фі ф2 • • • Фп- Тогда
(2*Г"'2 = Г Dm ... <pn = f JD^ У Lu1 ... 'Ln1Ji1 ¦ ¦ • Ь .
Предположив, что / = const, и вынеся ее за знак интеграла, получим
I=Z-V 2PZ, ... Lni , (152)
1X •• ' 1 п
где єя=±1 в зависимости от четности перестановки i\...in-*~
->1.../г. Входящая в (152) сумма есть detL, откуда J = detL~K Ясно, что такой вид / гарантирует справедливость равенства (151) для любой функции /(ф), поскольку вклад в интеграл дает лишь старший моном.
Итак, для интеграла на грассмановой алгебре роль якобиана в (151) играет не определитель L, а обратный определитель.
Пусть теперь ф = фі... фп и Ci=CLi... ап — полный набор образующих грассмановой алгебры, т. е. все фг- и а/г попарно антикоммутируют. Пользуясь определением интеграла, нетрудно показать, что
jDcp/(?)=jDcp/(cp + a), (153)
т. е. ?)ф = 1)(ф + а). Соотношение (153) показывает, что интеграл на грассмановой алгебре, так же как и обычный интеграл, инвариантен по отношению к трансляциям переменной интегрирования.
В заключение выпишем формулы прямого и обратного преобразований Фурье (п — число образующих ф):
F(a) = J Dcp/ (ср) ехр ща, /(ср) = (2тс)я J DaF(O) ехр (- ща). (154)
62
Первое из этих равенств является'определением функции F(а) „ а второе можно доказать при условии, что число образующих п четно, а функция f(q>) состоит лишь из четных мономов.
3. Гауссовы интегралы на грассмановой алгебре. Рассмотрим гауссов интеграл
I (К, а) = \ Dy ехр
4-<р/ф+ уа
(155)
на конечномерной грассмановой алгебре с образующими ф = = Фі. •. фп и а = а\... ап. Число п образующих ф предполагается четным, а матрица К — антисимметричной и невырожденной.
Для выделения зависимости от а нужно сделать трансляцию Ф = фх—К~1а переменной интегрирования. Пользуясь правилом (153), антисимметричностью матрицы К и равенством фа = = —аф, получаем
/(/С, a) =/(K9 0)exp^a/T~V). (156)
Для вычисления интеграла/(К, 0) делается замена у —Lb^
при которой K-* К' — L1 KL. Известно, что для любой антисимметричной матрицы К четной размерности п — 2т найдется унимодулярная (т. е. имеющая единичный определитель) матрица L такая, что K = L1KL представляется квазидиагональной матрицей, составленной из т двумерных блоков
вида ^ ^ ; произведение X1X2 • • - ^m называется пфаффианол
матрацы К и обозначается Пф/С С точностью до знака пфаф-фиан К совпадает с корнем из detК=ЦЦ .. . X^1. В част*
ности, нетрудно убедиться, что
Пф(°в ~0?Tj = (-l)w(m+1)/2det5, (157)
где т — размерность матрицы В.
Возвращаясь к вычислению интеграла I(К, 0), сделаем замену ф = ?я|), выбрав матрицу L именно такой, как указано выше. Вследствие унимодулярности L имеем 1{К, O)=I(K', 0). Напишем
т т
ехр (у Ф/Г? J = Yl ехр (hVtk-lVtk) = П (1 + Х*?2*-1?2*)-
fc=l A=I
Вклад в интеграл по ф дает лишь произведение вторых слагаемых в каждой скобке, откуда
т
ЦК, 0) = (2*)-» П Х* = ПФ (Jr) = Е det Щ'2> (158>
63
)
где є = ± 1 — знаковый множитель, отличающий ПфК от det/C1'2.*
В дальнейшем считается, что формулы (156) — (158) справедливы и в бесконечномерном случае, т. е. для антикоммути-рующего поля ф (все фермионные поля комплексны и потому их размерность всегда можно считать четной):
К V''2
J Dcp ехр Jy ср/Сер -f срЛ
= s det
2к
ЄХ
р(~АК~1Ау. (159)
Интеграл jD^D'^exp + + сводится к написанному выше при переходе к универсальным обозначениям:
^ (° ~1)(А
A+
Обобщив соотношение (157), мы выразим с точностью до знака пфаффиан двумерной матрицы через определитель К и получим
f ехр [фчАГф + фМ + Л+ф] =
= є det ^rJ ехр (- A+K-'А).
(160)
Формулы (145), (159) можно объединить в одну:
Dcp ехр
9
— г det
у.
(161)
4. Гауссовы интегралы в теории поля. Если вычислить формально по правилу (161) интеграл от expt [ф/Сф/2 + фА], где ф/Сф/2 — квадратичная форма свободного действия (4), то с точностью до не зависящего от А множителя получим ехр[—хАДЛ/2], где \ = іК~1. Сравнив это выражение с (89) и приняв во внимание последнее равенство (31), находим, что мы пришли к производящему функционалу функций Грина рассматриваемой свободной теории.
Это и есть желаемый результат, но приведенный выше вывод нуждается в существенном уточнении. Дело в том, что К в (161) предполагается невырожденной линейной операцией на пространстве полей ф, по которому производится интегрирование, — в противном случае символ К~{ теряет смысл. В нашем случае К, рассматриваемая как операция на множестве „всех полей", вырождена, поскольку уравнение /Сф = 0 имеет нетривиальные решения — свободные поля. Если же в качестве пространства интегрирования взять, например, множество хорошо убывающих функций, то операция iK~l будет определена однозначно, но мы не знаем, совпадет ли ее ядро с хронологической
