Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
66
5. Представления производящих функционалов S-матрицы и функций Грина функциональными интегралами. Рассуждения предыдущего раздела позволяют представить производящий функционал функций Грина свободной теории (89) в виде гауссова интеграла по пространству функций E(A):
G(0) (А) = ехр \ АДА) = с Dcp ехр і [S0 (?) + Щ. (162)
Здесь So'=(pKq)/2 — квадратичная форма свободного действия, которая, как это объяснялось в п. 1.2, отличается от самого функционала свободного действия S0 внеинтегральными членами. Символ /доф... в (162) обозначает интегрирование по E(A), а постоянная с определена равенством
с-1 =
^DyexpiSo(y). (163)
Для теории с взаимодействием, пользуясь формально соотношениями (91), (162) и (12), получаем, представление
5
G(А) = ехр iSv\% -^-J G(0)(А) = с J ^ Do ехр і [S(у) + ?А], (164)
в котором S(cp) =5о'(ф) +^(ф). Будем называть этот функционал действием, но нужно помнить, что, во-первых, функционал S0' (ф), как уже говорилось выше, отличается от свободного действия, и, во-вторых, функционал Sv (ф) для случая взаимодействия с производными поля по времени представляет эффективное взаимодействие, о котором говорилось в п. 3.4.
Формула (164) равносильна следующему представлению полных функций Грина (75):
Gn(X1 ... хп) = с^Dw(Xt) ... <р(*я)ехр*5(<р). (165)
Перейдем теперь к производящему функционалу S-матрицы (84). Интегральное представление для этого функционала можно получить, подставив представление (164) в соотношение (94). Более поучителен другой вывод, который основан на следующем представлении входящей в определение (84) дифференциальной операции приведения:
ехР Т'-^ГАТГ\ — с D'lfexp
IS о W+ ^ JL
оср
(166)
Пространство интегрирования и постоянная с те же, что и в (162). Для фермионов мы перешли с помощью (9) к левым производным, чтобы пользоваться затем соотношением (11), пока-
->
зывающим, что ехр |/ф б/бф] есть операция сдвига на как и в бозон ном случае. Поэтому
ехР (т'if Аif) F= 0 \, m>F^ + Ф) ехР iS'» (+) (167>
5*
67
для любого функционала F. В частном случае производящего функционала S-матрицы (84) получаем
R (А) - с |д ехр і [So (ср) + Sv (? + Л)]. (168)
Если представления (164), (168) считаются известными, то соотношение (93), связывающее производящие функционалы S-матрицы и функций Грина, легко получается с помощью сдвига ф——Л переменной интегрирования в (168), не выводящего из E (А) при условии Л Q EС.Е (А).
Было бы ошибкой воспринимать формулы типа (164), (168) как некие точные представления, совершенно свободные от связи с теорией возмущений. Это не совсем так: указание области интегрирования E(A), которая определяется лишь свободной частью действия, равносильно скрытому предположению об использовании соответствующей теории возмущений. Не следует поэтому удивляться появлению внутренних противоречий в подобных формулах в тех случаях, когда теория возмущений заведомо некорректна, что на языке классической теории означает качественное различие в асимптотическом поведении решений точного и свободного уравнений движения, а на языке квантовой теории — качественное различие спектров соответствующих гамильтонианов. Например, мы можем попытаться вычислить функционал (162) по теории возмущений, разбив искусственно форму ф/(ф на ,,свободную часть" ф/С'ф и „взаимодействие" ф(/С—К')(р. В результате вместо (162) получим гауссов интеграл от того же выражения, но по другой области E (A'), что само по себе противоречиво.
Можно думать, что в правильных формулах типа (164), (168) пространство интегрирования должно определяться асимптотиками решений классического уравнения движения для полного действия, а не его свободной части, и теория возмущений корректна лишь тогда, когда включение взаимодействия не меняет пространства интегрирования. Отметим, что так и обстоит дело в ренормированиой теории возмущений [1].
На практике об определении области интегрирования в (164), (168) особо не заботятся, потому что представления такого типа используются в основном для упрощения вывода различных замкнутых соотношений, которые на обычном языке получаются путем суммирований диаграммных рядов теории возмущений. Опыт показывает, что для воспроизведения подобных результатов достаточно манипулировать формально с функциональными интегралами, не обращая при этом внимания на области интегрирования. В качестве примера рассмотрим вычисление входящего в (112) функционала
/(Л, М, ?) = ехр (1— ехр (|?М?).
68
С помощью (167) приводим это выражение к гауссовому интегралу (К = і&~1):
с J DO ехр J- 1 фД~!ф + -J- (ср + ф) M (ср -г ф) ср] . (169)
Применяя формально правило (161) для вычисления гауссовых интегралов (163), (169), получаем ответ
ДД, Al, ср) = det (1 — MAp'2 ехр
ICp(M-1 — A)-1Cp
совпадающий с результатом прямого суммирования диаграмм теории возмущений для функционала /(А, М, ср).
6. Метод стационарной фазы. Допустим, что вместо (164) написано представление
Gx (Л) |д D? ехр A"1 [S (ср) + срА], (170)
в котором X— некоторый числовой параметр, а нормировочная постоянная Ci отличается от с заменой S0-+X-~lS'0 в (163), В реальной ситуации роль X играет постоянная Планка ft, которую мы приняли за единицу.
