Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Явление конденсации, описываемое уравнением Ван-дер-Ваальса, имеет место тогда, когда потенциал парного взаимодействия V" (х, х') на больших расстояниях соответствует притяжению, а на малых — достаточно сильному отталкиванию. Эти две области учитываются по-разному при построении приближения самосогласованного поля. Отталкивание часто описывают моделью твердых шаров, в которой потенциал v считается равным + оо при I X—x']<^d, где d — диаметр шара. При
18 Зак. 102
273
I X—x'j > d потенциал отрицателен, что соответствует притяжению.
Согласно определению п. V.3.1 линия А связана с потенциалом ^соотношением А =—ffflf, и в модели твердых шаров не только можно, но и нужно переходить к майеровской линии g = —1+ехрА, принимающей конечное значение —1 при
гг= + оо.
Для получения приближения самосогласованного поля потенциал притяжения достаточно учитывать, как и в модели
Изинга, лишь в самом низшем порядке для Г, т. е. в графике
—• =оеЛа. Это дает в правую часть (178) слагаемое c?a2, где
с—некоторая положительная (вследствие положительности А при V*< 0) константа.
С отталкиванием дело обстоит сложнее. Лучше всего было бы вычислить точно функцию (178) для модели простых твердых шаров без притяжения, но для реального трехмерного пространства это сделать не удается. Грубому расчету статсуммы для газа твердых шаров, приводящему в итоге к уравнению Ван-дер-Ваальса (см., например, [8], с. 79), на языке преобразования Лежандра соответствует следующее выражение для у:
^талк _a — alna-}-aln(l — fra), (179)
где b—учетверенный объем твердого шара.
Выражение (179) можно понимать как результат очень гру-
бого суммирования вкладов бесконечного числа графиков Г. Специфический вид добавки aln(l—ba) в действительности не столь уж важен — к уравнению типа Ван-дер-Ваальса приведет любая добавка, обладающая тем свойством, что ее производная по а обращается в бесконечность при некотором конечном значении а. Физически это соответствует существованию некоторой предельной плотности, которую нельзя превысить, иначе говоря, учету конечности объема молекул газа. Именно эта физическая идея и лежит в основе уравнения Ван-дер-Ваальса. Добавив к (179) вклад сил притяжения, получим
<YB _в — a — a In a -j- a In (1 — bi) -j- c(k2. (180)
Соответствующее уравнение стационарности ду/да= —ф = —Ina определяет зависимость плотности а от активности а. Давление р определяется соотношением (147), подставив в которое
Г = Vy из (180), получим §р — ч— aTa = a О—bi)"1 — <?3a2, что с точностью до обозначений совпадает с обычным уравнением Ван-дер-Ваальса [7, 8]. Отметим, что известное правило равных площадей Максвелла, устраняющее нефизические (в равновесной теории) участки переохлаждения и перегрева, получается автоматически при замене функции (180) на ее выпуклую огибающую.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО УРОВНЯ
Здесь выводятся асимптотические формулы нестационарной теории возмущений для изолированного дискретного уровня, которые нужны для обоснования соотношения (1.74), выражающего сдвиг энергии уровня через «S-матрицу, и соотношений (1.71), используемых при переходе от гайзенбер-говского представления к представлению взаимодействия в функциях Грина. Невозмущенный уровень в (1.71), (1.74) предполагался невырожденным, но мы рассмотрим для общности и случай вырожденного уровня, который особенно важен для теории атома.
Формулы нестационарной теории возмущений для дискретного уровня получают обычно в рамках адиабатического формализма Гелл-Манна — Лоу [81]; подробный вывод можно найти в [82, 83]. В адиабатической формулировке в оператор взаимодействия V вводится обрезающий множитель ехр (—a \t\) и затем исследуется предел
Введение адиабатического обрезания неудобно в нескольких отношениях. Во-первых, оно затрудняет по понятным причинам переход к импульсному представлению в диаграммах теории возмущений. Во-вторых, появление явной зависимости от ^времени в гамильтониане взаимодействия исключает возможность использования первого из представлений (1.55) для оператора развития. Верным остается лишь второе представление (1.55), т. е. вольтер-ровская Г-экспонента. Наконец, сам выбор обрезающего множителя в виде ехр(—a \t\) совершенно произволен. С таким же успехом можно было бы начать, например, с гауссового обрезания ехр(—at2) или любого другого. Этот произвол не имел бы значения, если бы окончательные формулы не зависели от выбора обрезания, но в действительности это не так, во всяком случае для вырожденного уровня. Для адиабатической теории Гелл-Манна — Лоу характерно появление в окончательных формулах Операции g d/dg? где g— константа связи при взаимодействии. Эта операция вводит дополнительный комбинаторный множитель п для вклада я-го порядка теории возмущений. Если бы удалось провести до" конца все выкладки для гауссового обрезания, то в ответах вместо g d/dg наверняка присутствовала бы какая-нибудь другая комбинаторная операция.
Мы будем использовать "естественное обрезание", рассматривая оператор развития на конечном интервале времени и затем раздвигая этот интервал до бесконечности. При таком обрезании окончательные формулы, как мы увидим ниже, не будут содержать никаких искусственных комбинаторных операций.
