Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Из графиков (158) незвездными являются квадраты с одной пунктирной диагональю.
Мы будем доказывать высказанное утверждение по индукций с помощью уравнений движения (154), (155): допустим, что все
графики Г вплоть до некоторого порядка являются звездами в ./Г-форме, и покажем, что получаемые при итерации уравнений (154), (155) графики следующего порядка также будут звездами в «/Г-форме. Отметим, что для графиков трех первых порядков (138) индукционное предположение выполнено.
Допустим, что в Г имеется незвездный график с аномальной вершиной типа (159а):
(158)
] к
(5)
(159)
17*
259
Графики производной Гд в левой части (154) получаются из
графиков Г удалением одной сплошной линии А всеми возможными способами. Следовательно, в производной по Au1 от незвездного графика (159а) с необходимостью будут и такие, у которых удалена линия, присоединявшаяся к аномальной вершине, иначе говоря, такие, у которых одна из выделенных вершин i, k является аномальной. Это рассуждение иллюстрировано графическим соотношением (159). Мы предположили для определенности, что аномальной оказывается вершина і, но это
не ограничивает общности ввиду симметричности Гд по значкам i, k.
Итак, если мы хотим доказать, что на некотором шаге итераций не появляются незвездные (в i/Г-форме) графики, достаточно проверить, что в правой части (154) после приведения ее к ./Г-форме отсутствуют „опасные" графики с лепестком в вершине і, т. е. в крайней левой вершине цепочек блоков (154).
Напомним, что в цепочки (154) входят диагональные матрицы 6ife(l—оіі2)=Гіи, сопоставляемые выделенным в (154) точкам, и матрицы Гаа с-элементами д2Т/даідік, изображаемые в
(154) блоками m> . Индексы крайних вершин цепочки
(і у левой, k у правой) фиксированы, по индексам остальных вершин производится суммирование, что соответствует обычному произведению матриц. Например, слагаемое с тремя блоками ЄСТЬ МатрИЧНЫЙ ЭЛемеНТ ik ОТ ПрОИЗВедеНИЯ /TaafTaafTaaf.
Согласно индукционному предположению графики Г, дифференцированием которых получаются блоки Га«, являются звездами в Jf-форме, так что внутри этих блоков нет аномальных рершин. Мы должны показать, что после приведения правой части (154) к ,/Г-форме не могут появиться опасные графики с лепестком в вершине і типа (1596).
На первый взгляд кажется, что такие графики обязательно появляются. Во-первых, крайний левый блок цепочки
d2T/daidas (s— значок суммирования) содержит вклад с f = s, получающийся при двукратном дифференцировании одной и той же вершины. Для газа таких графиков не было, потому что вершинам сопоставлялся простой множитель а, вторая производная которого равна нулю. Теперь это не так, точнее, мы не уверены, что так, и поэтому должны учитывать блоки с і = s. Такие блоки являются в действительности однолепестковыми и
порождают в цепочках „опасные" графики: <?*^>----Jh> ¦
Есть и еще один механизм появления опасных графиков.
260
Отдельные блоки Гаа получаются дифференцированием графиков в ./f-форме, так что индексы разных вершин одного блока не совпадают. Но в цепочке таких блоков, являющейся обычным произведением матриц, нет никаких запретов на совпадение индексов вершин разных блоков, иными словами, такая цепочка еще не приведена полностью к е/Г-форме. Если выполнить это приведение, то появятся дополнительные диаграммы со стягиваниями вершин разных блоков. Среди них будут и „опасные" графики типа (1596). Для нас важно, что все „опасные" стягивания, приводящие к появлению лепестка в вершине і, обязательно содержат пунктирную линик^ соединяющую вер^
шину і с одной из точек сочленения блоков Гаа.
Покажем теперь, что в действительности все опасные графики в правой части (154) взаимно сокращаются. Обозначив матрицу с элементами 1—6г-& перечеркнутой сплошной линией (линия несовпадения), изобразим графически уравнение (155);
^•+^^^•+«0^0 + ...=^4-^^+^0^ + ... • (160)
В уравнении (154) по условию іфк, что позволяет нам при же* ланий соединить крайние вершины і и k линией несовпадения. Приняв затем во внимание графическое равенство (160), можно провести дополнительную линию несовпадения из вершины і
в ближайшую к вершине k точку сочленения блоков Гаа в (154) (но это можно делать только одновременно во всех членах прогрессии блоков (154)). В результате сумма цепочек блоков в правой части (154) примет вид
Воспользовавшись затем уравнением (160) еще раз, можно до-бавить линию несовпадения из вершины і во вторую справа точку сочленения блоков. Повторяя бесконечно эту операцию*
МЫ СОеДИНИМ ВерШИНу І ЛИНИЯМИ Несовпадения СО ВСеМИ ТОЧ"
ками сочленения блоков Гаа-
Остается заметить, что преобразовав таким образом правую часть (154), мы исключили оба указанных выше механизма появления опасных графиков. Действительно, крайний левый
блок Гаа сопровождается теперь линией несовпадения, что за-прещает двукратное дифференцирование одной и той же вершины. Второй механизм — опасные стягивания при приведении к ./Г-форме — также исключается, поскольку все графики с опасными стягиваниями обращаются в нуль при добавлении линий несовпадения: вершина і оказывается соединенной с не-
