Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
второго и выше порядков порождают треугольник (166) и 2-приводимые многоугольники (172). 2-приводимые „арбузы" (172) порождаются при итерациях слагаемыми а#~ааа и W^F0J ~ со(х, X7) .^F0)(X, X7) в правой части (173) из затравочного
2-неприводимого графика о» (ниже будет показано, что последний член в правой части (173) ни „арбузов", ни многоугольников не порождает). Приравняв коэффициенты при „арбузе" с п линиями в обеих частях (173), получим рекуррентную формулу (п + 1) Cn+I =—(п—1)сп для коэффициента Cn при „арбузе" с п линиями. Зная C2 = —1/4, получаем отсюда те коэффициенты при „арбузах", которые приведены в (172). Отметим, что эти коэффициенты аномальны, т. е. отличаются от обратного симметрийного числа, которое для ,,арбуза" с п линиями4 равно 2п! (совпадение во втором и третьем порядках случайное). Отметим также, что с точностью до множителя—1/2 коэффициенты п|зи „арбузах" совпадают с коэффициентами разложения функции (1 +х)1п(1 +х), так что при желании ряд „арбузов" (172) можно явно просуммировать. Многоугольники (172) легко суммируются в логарифм в пространственно-однородной теории после перехода к импульсному представлению
ДЛЯ ЛИНИИ O)(X—X7).
В последнем члене в правой части (173) все аргументы индексов со сворачиваются, а х и х' являются аргументами индексов а в множителях Аа(0. Определение (174) в подробной записи имеет вид
Лаш(х; у, у') = «(X) 8а(х)Уу> у,)-
а обратное ядро tFZl в (173) строится, как обычно, в виде ряда типа (74), затравочное слагаемое в котором порождается
графиком °*
269
Проанализируем сначала блок /га0). Дифференцирование па со (у, у') равносильно удалению из графика одной линии со всеми возможными способами. В графиках производной SF^ будут две помеченные вершины — те, которые соединялись удаленной линией.-Действуя затем на 3~& операцией а(х)б/ба(х), мы метим поочередно индексом X каждую из вершин графика {F03. Среди получающихся графиков будут и такие, в которых операция аб/ба метит те самые две вершины, которые уже были помечены отрывом линии оз. Ясно, что второе слагаемое в правой части (175) в точности сокращает все такие графики, так что /іасо есть та часть графиков aSFaa>, в которых операцией аб/ба метится новая, а не уже помеченная вершина. Все такие графики должны иметь не менее трех вершин. Двухвершинные графики — ,,арбузы" — вообще не дают вклада в ftffo), первым графиком, дающим вклад, является приведенный в (166) треугольник.
Из сказанного выше о структуре графиков ha(? следует, что последнее слагаемое в правой части (173) не может содержать
ни простых цепочек типа * • •"*» ни „арбузов", и поэтому не
может порождать при итерациях ни многоугольников, ни „арбузов". _
Покажем теперь, что все графики^, за исключением приведенных в (172), являются 2-неприводимыми по вершинам. Назовем вершинное 2-сечение слооюным, если хотя бы один из отсекаемых блоков не является ни простой цепочкой, ни ,,арбузом". В графиках (172) сложных 2-сечений нет, а любой другой 2-приводимый график такое сечение обязательно содержит. Следовательно, наша задача состоит в доказательстве отсутствия графиков со сложными 2-сечениями. Как всегда, доказывать будем по индукции: допустим, что их нет в графиках низших порядков, и покажем, что тогда их не может быть и в графиках следующего порядка, получаемых итерациями уравнения (173). Действительно, предположим, что в SF появился график со сложным 2-сечением типа (176а):
Допустим для определенности, что сложным является верхний блок в (176а). Тогда в производной по со(х, х') должны присутствовать графики вида (1766), получаемые из графиков (176а) удалением одной из тех линий нижнего блока, которая присоединялась к одной из вершин 2-сечения.
Покажем теперь, что в условиях индукционного предположения в правой части (173) не мож^т быть графиков типа (1766). Действительно, графики производных а?Гааа и <^SF{й отлича-
а
б
д
(176)
270
ются от графиков ST, которые были дифференцированы, только пометками вершин, так что индукционное предположение запрещает наличие в них сложных 2-сечений. Обратимся теперь к последнему члену в правой части (173). Разлагая входящую
в него величину STZLb ряд (см. выше), получаем прогрессию, структура одного из членов которой показана в (176в). Анализируя варианты, можно довольно быстро убедиться, что наличие в графике (176в) сложных 2-сечений типа (1766) всякий раз противоречит индукционному предположению, согласно
которому блоки и ШШ сложных 2-сечений не имеют.
Тем самым искомое утверждение доказано.
Итак, функционал ?Г для газа есть сумма 2-приводимых графиков (172) и всех 2-неприводимых по вершинам графиков Г. Таких графиков в низших порядках очень мало. Помимо графиков (166) с тривиальными 2-сечениями в первых восьми порядках их только два: тетраэдр („незапечатанный конверт") в шестом порядке и пирамида (,,запечатанный конверт") в восьмом порядке. Из сорока двух звездных майеровских графов девятого порядка 2-неприводимыми по вершинам будут только три (см. Приложение 2).
Классический неидеальный газ является единственной теорией, для которой полностью описана структура 2-приводимых графиков второго преобразования. Насколько нам известно, для типичных полевых взаимодействий со степенной или полиномиальной производящей вершиной преобразования Лежандра логарифма S-матрицы вообще никем не рассматривались (ни первое, ни второе). Эти объекты популярны пока лишь в классической статистике.
