Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
от достаточной статистики. Предположим теперь, что Т имеет плотность вероятности q(t | С).
Несколько обобщая задачу, мы будем искать оценку не для самого параметра д, а для некоторой его функции <р(гЗ). Условие, согласно которому искомая оценка должна быть несмещенной, непосредственно приводит к интегральному уравнению
J q(t ( в) F(t) dt = <р(й), (12)
где интегрирование производится по всей области возможных
значений t оценки Т, Если F и i\ •— два решения уравнения (12),
то их разность D{i) должна удовлетворять интегральному уравнению
Jq{t | Ъ) D{i) dt = 0. (13)
Может оказаться, что однопараметрическое семейство {g(f|6)} образует на оси t полную систему функций, так что никакая отличная от тождественного нуля функция D(t) не может быть ортогональной ко всем функциям q(t | б). В этом случае из (2) следует, что
J)(t) = О,
т. е, если решение (12) существует, то оно определяется однозначно. Этим самым доказана
Основная теорема. Если Т = Т(х) -— достаточная статистика для $ и семейство {q(t [ ?)} образует полную систему функций, то любая несмещенная оценка для ф(д), зависящая лишь от Т, является наилучшей оценкой.
§ 43. Приложения
Метод отыскания несмещенных, наилучших сценок, изложенный в § 42, имеет много применений. Прежде всего заметим, что этим методом можно было бы воспользоваться во всех предшествующих примерах. Теперь мы укажем несколько новых примеров, из которых первые два заимствованы из книги С. R. Rao, Advanced Statistical Methods in Biometric Research, New York, 1952.
Пример 29. Распределение x2 с множителем a..
Пусть имеется п независимых наблюдений Xj,. . хп, каждое из которых подчиняется распределению х2 с неизвестным множителем а в показателе степени. Таким образом, плотность вероятности отдельного наблюдения задается формулой
f(x\a) = с аР хР~1 е~аХ (х > 0), (1)
где с= 11Г(р). Если положим 'S'х ¦¦= Т(х) = Т, то плотность совместного
распределения всех ......хп будет иметь вид
д{х\а) --- сп апР (а?! . . . (2)
§ 43. Приложения 21S
Формула (2) показывает, что Т — достаточная статистика. Если от .......хп перейдем к новым переменным Т, уъ . . . , уп по формулам
X; Туи (3)
то все iji будут связаны соотношением
2>-=ь w
поэтому независимыми переменными можно считать лишь Т и уъ . . ., уп_у. Если функцию (2) проинтегрировать по переменным уъ . . ., уп_у в области
Уу > 0, . . ., уп > 0, V* Vi = Ь (5)
то получим плотность вероятности случайной величины Т:
qiT^a) - с' апР ТпР~1 е~пТ. (6)
Так как ннтеграл от q(T, а) в пределах от 0 до оо должен быть равен единице, то
1
Г (пр)
Среднее значение случайной величины 1/Г равно
а Г(пр — 1) а
с' апР j
Тпр 2 е-иТ dT —
Г(пр) пр — 1
О
Следовательно,
пр — 1
F(T) = (7>
является несмещенной оценкой для а.
Если бы имелась другая несмещенная оценка, также зависящая только от Т, то должно было бы существовать ненулевое решение D(t) интегрального уравнения
оо
I D(t) WP-' e_", dt = 0. (8)
0
Если введем-новую переменную интегрирования г — и положим D(t) tnP ~1 = G(z), то из (8) будет следовать, что
1
| г"-1 G(z) dz — 0 для а = 1, 2, 3, ... . (9)
о
Но в интервале от 0 до 1 функции 1, г,г2, . . . образуют полную систему функций1. Таким образом, из (9) следует, что G(z) = 0, т. е. это интегральное уравнение имеет лишь нулевое решение. Следовательно, оценка (7) является наилучшей.
Оценка наибольшего правдоподобия
¦пр а —
Т
1 См., например, Курант Р. и Г и л ь б е р т Д., Методы матема-
тической физики, т. 1, гл. 2, § 4, Гостехиздат, М., 1951.
§ 43. Приложения
215
Формула (11) показывает, что Т является достаточной статистикой для 0. Согласно (11), математическое ожидание Т равно
