Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство целиком основано на свойствах 1—4 (§ 40). Из 2 и 4 прежде всего следует
g(® | 9 = 6(1 * ® I *) = SO I t) F(t) = F(t). (4)
Далее, из 1 получаем
g(w — t?|0 = g(u | t) — g(® I t) = F(t) — F(t) = 0. (5)
Так как, согласно 3,
g(w — v) = 0, (6)
то gw = gu. Первое утверждение доказано.
1 Колмогоров А. Н., Несмещенные оценки, Изв. АН СССР (сер. мат.), 14 (1950), 303. — Прим. перев.
§ 42. Применение теории условных математических ожиданий 211
Дисперсия и равна
СГц = g(M — w)2 = g(|t — V)2 = g(W — V + V — v)2 =
= &(u — V)2 + 2g(W — v) (v — V) + g(® — 15)2. (7)
Разность v — v зависит лишь от t. Если мы положим v —v =
= 4>(t), то, согласно 4 и (6), получим
g[(w — ®) (v — v) I г] = g(u - ® j t) <p(t) = 0, (8)
следовательно, в силу 3,
?(м — ®) (ю — ®) = 0. (9)
Все это позволяет записать (7) более просто:
0"» = g(« — v)2 + . (Ю)
Отсюда непосредственно следует, что
(П)
Второе утверждение доказано.
Если бы дисперсия была бесконечной-, то, согласно (10), дисперсия сг^ также была бы бесконечной, что противоречит первоначальным предположениям. Таким образом, а\ конечна и не превосходит сг? .
Неравенство (11) обращается в равенство тогда и только тогда, когда разность и — v принимает ненулевые значения лишь с вероятностью, равной нулю.
Предположение конечности дисперсии <х^ может быть опу-щено. Действительно, если сги бесконечна, то неравенство (11) становится тривиальным.
Таким образом, если существует достаточная статистика t = Т(х), то для каждой оценки и = U(x) параметра t) существует улучшенная оценка v = V(x), обладающая свойствами:
1. Смещение v равно смещению и, следовательно, если и —¦ несмещенная оценка, то » — также несмещенная оценка.
2. Дисперсия v не превосходит дисперсии и.
3. Оценка v зависит лишь от достаточной статистики t = Т(х). Теперь мы снова можем отказаться от жирного шрифта и
обозначить результаты наблюдений и их значения через хх, . . хп, достаточную статистику — через Т = Т(х) и оценки —через U(x) и V(x) = F(T).
Б. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕСМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК
На основании только что полученных результатов, при отыскании несмещенных наилучших оценок мы всегда можем ограничиться такими оценками V = F(T), которые зависят только
14*
Гл. VI1!. Оценки неизвестных параметров
от достаточной статистики. Предположим теперь, что Т имеет плотность вероятности q(t [ ?).
Несколько обобщая задачу, мы будем искать оценку не для самого параметра б, а для некоторой его функции <р(б). Условие, согласно которому искомая оценка должна быть несмещенной, непосредственно приводит к интегральному уравнению
Jg(* [ б) F(t) dt =± ср(€), (12)
где интегрирование производится по всей области возможных
значений t оценки Т. Если F и — два решения уравнения (12),
то их разность D(t) должна удовлетворять интегральному уравнению
\q{t | 0) D{t)dt =¦- 0. (13)
Может оказаться, что однопараметрическое семейство {#(^[6)} образует на оси t полную систему функций, так что никакая отличная от тождественного нуля функция D(t) не может быть ортогональной ко всем функциям q(t j i). В этом случае из (2) следует, что
D(t) = 0,
т. е. если решение (12) существует, то оно определяется однозначно. Этим самым доказана
Основная теорема. Если Т = Т{х) — достаточная статистика для б и семейство {q(t [ б)} образует полную систему функций, то любая несмещенная оценка для <р(б), зависящая лишь от Т, является наилучшей оценкой.
§ 43. Приложения
Метод отыскания несмещенных, наилучших оценок, изложенный в § 42, имеет много применений. Прежде всего заметим, что этим методом можно было бы воспользоваться во всех предшествующих примерах. Теперь мы укажем несколько новых примеров, из которых первые два заимствованы из книги С. R. Као, Advanced Statistical Methods in Biometric Research, New York, 1952.
Пример 29. Распределение x2 с множителем a.
Пусть имеется п независимых наблюдений ........хп, каждое из кото-
рых подчиняется распределению х2 с неизвестным множителем а в показателе степени. Таким образом, плотность вероятности отдельного наблюдения задается формулой
f(x'a) = с аР хР~г е~аХ (х > 0), (1)
где с = 1 /Г(р). Если положим Ух — Т(х) = Т, то плотность совместного •
распределения всех хх....хп будет иметь вид
д(х|а) = сп апР (хг . . . хп)Р~1 (2)
212 Гл. Via. Оценки неизвестных параметров
