Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При изучении конъюнктуры причинная зависимость оказывается не такой простой, как в приведенном выше примере. И все же стоит попытаться исследовать, как далеко мы можем продвинуться в причинном объяснении явлений. При этом исходными данными являются те значения х, у,... и w, которые наблюдались в течение определенного ряда лет. Из каждого показания вычитают арифметическое среднее за период наблюдения (благодаря этому выборочные средние оказываются равными нулю), и подбором надлежащих функций времени (как правило, линейных) в полученных рядах наблюдений устраняют временной тренд. Таким образом, вместо исходных наблюдений величин х, у,. . . и w получают некоторые новые ряды значений, подверженных лишь периодическим и нерегулярным колебаниям. Далее делается предположение, что причинная зависимость колебаний w от колебаний х, у, . . . приближенно линейная, и поэтому, обозначив колебания теми же буквами, которыми ранее обозначались соответствующие величины, можно написать
w = Хх -{ цу + . . . + и, (1)
причем и представляет собой остаток, возникающий вследствие невыявленных причин. Предполагается, что величина и столь мала, что не оказывает на w заметного влияния, и поэтому в качестве оценок для неизвестных коэффициентов выбирают такие значения Л,/а, . . ., для которых сумма квадратов значений и становится минимальной:
[ ии ] = 2 и1 — minimum. (2)
Если [ии] продифференцировать по Л, /а, . . . и производные приравнять нулю, то, как в § 30, получим систему нормальных уравнений
Л [хх] + /А [ху] + ... = [xw], \
Л [ух] + /А [:уу] + . . . = [yw], > (3)
1 Н a n a u A., Die Prognose der Schweinpreise, Sonderheft 18 der Viertel-jahrhefte zur Konjunkturforschung, Berlin, 1930.
182
Гл. VII. Метод наименьших квадратов
Решая систему (3), можно найти оценки для неизвестных коэффициентов К, у., ... .
Если предполагается, что экономический показатель х оказывает влияние на подлежащий объяснению показатель ги с некоторым запаздыванием (как в предыдущем примере повышение цены на свиней вызывало, с запаздыванием на полтора года, повышение предложения на рынке) и если такое предположение является теоретически оправданным, то при вычислениях это запаздывание учитывается посредством смещения значений х во времени. С этой целью проще всего предварительно выяснить, при каких смещениях значений х по времени получается наибольшая корреляция между х и w. Таким образом, сначала вычисляют коэффициент корреляции между xt и wt, затем между xt_x и wit между ж,_2 и wt и т. д. (эти смещения варьируются, конечно, в умеренных границах, соответствующих разумным теоретическим соображениям) и выбирают такое запаздывание по времени, для которого коэффициент корреляции получается наибольшим. Учитывая это наиболее возможное запаздывание, снова делают предположение (1). Имеется и другой путь, согласно которому неизвестное запаздывание считают дополнительным неизвестным параметром и вместе с остальными параметрами оценивают его методом наименьших квадратов. С этой целью, последовательно, для различных значений запаздывания составляют системы нормальных уравнений, решают их и вычисляют [ии]. В качестве оценки принимают такую величину запаздывания, которой соответствует наименьшая сумма квадратов [ии].
Примеры использования этого метода можно найти в работе Tinbergen J., Business Cycles in the United States. Publ. Volkcrbund, Genf, 1939. С появлением этого основополагающего труда к применению метода, изложенного выше, стали относиться более осторожно: сначала посредством какого-либо критерия «независимости» стремятся убедиться, не слишком ли сильна зависимость между «независимыми величинами» х, у,. . .. Не имея возможности углубляться здесь в эти тонкие методы эконометрики, сошлемся лишь на работы: Tintner G., Econometrics, New York and London, 1952; Klein L. R., Л textbook of Econometrics, Evanston and New York, 1953; Hood W. C. and Koopmans Т. C., Studies in Econometric Method, Cowles Monograph No. 14, New York (Wiley), 1953.
ГЛАВА VIII
ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Эта глава распадается на четыре части. Первая часть (§ 35 и 36) посвящена методу наибольшего правдоподобия и поясняющим примерам. Эта часть в первую очередь предназначена для тех читателей, которые еще не знакомы с этим методом. Тот, кто при практическом применении метода наибольшего правдоподобия столкнется со сложными уравнениями, сможет в § 36 найти вспомогательные указания для отыскания корней.
Во второй части (§ 37—39) показано, что для оценок неизвестного параметра существует некоторая граница точности и никакая оценка не может иметь точность выше этой границы. В некоторых случаях метод наибольшего правдоподобия является паилучшим методом отыскания оценок, так как часто точность оценок наибольшего правдоподобия достигает границы точности. Вспомогательным средством этой второй части является неравенство Фреше.
