Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
33,46 1525 7 125 49
36,46 1562 8 162 64
40,87 1611 9 211 81
41,35 1616 10 216 100
41,14 1614 11 214 121
44,73 1651 12 251 144
46,82 1670 13 270 169
46,22 1665 14 265 196
54,79 1739 15 339 225
59,66 1776 16 376 256
61,30 1787 17 387 289
48,80 1688 18 288 324
60,60 1782 19 382 361
66,20 1821 20 421 400
63413 ---115 ---987 8395
? .4.4. Линии регрессии 179
циентом регрессии. Если yt — случайные величины, а значения
хi от случая не зависят (например, xt •— заданные моменты времени), то, пользуясь результатами § 30, можно определить среднее значение и дисперсию выборочного коэффициента регрессии тх.
В том случае, когда х является временем, регрессия носит название тренд1.
Пример 20. Во втором столбце таблицы на стр. 178 указано количество чугуна, которое ежегодно выплавлялось во всем мире с 1865 по 1910 г.2. Постараемся возможно наилучшим образом разложить изменение выплавки па тренд и конъюнктурные колебания.
В таблице используются следующие обозначения: t — номер года, х — количество выплавленного чугуна (в миллионах тонн), у — десятичный
Рис. 21. Логарифм количества чугуна, которое ежегодно выплавлялось во всем мире с 1865 по 1910 г.
логарифм х, умноженный на 1000 (у — 1000lg х). С целью получения более удобных малых чисел из всех табличных значений t и у были вычтены а = 1890 и соответственно b == 1400.
Если предварительно по заданным числам t и х в плоскости Юх построить грубую кривую, то обнаружится, что с ростом t эта кривая поднимается вверх значительно быстрее, чем прямая линия или квадратная парабола. Следовательно, нет оснований считать регрессию линейной или квадратичной. Напротив, показательная функция оказывается хорошо согласующейся с табличными значениями. При этом колебания эмпирической кривой около показательной с ростом t усиливаются. Это наводит на мысль перейти от абсолютных чисел х к их логарифмам у и затем в плоскости Юу постараться найти такую прямую, которая наилучшим образом согласуется с табличными значениями (I, у).
1 Если у(х) — случайные величины, распределение которых зависит от времени х, то трендом называют такую функцию у(х), значения которой в каждой точке х равны среднему значению Q у(х). — Прим перев.
2 С a s s о 1 G., Theoret. Sozial6konomie, 3 Aufl., 587, Figur S. 532.
12*
180 Гл. VII. Метод наименьших квадратов
Находим
_ 115
t = 1890 -------= 1890 — 2,5 = 1887,5,
46
_ 987
т. = у = 1400 ---------= 1400 — 21 = 1379.
46
Точка с координатами (<, т0) принадлежит линии регрессии, которая является прямой с угловым коэффициентом
У1 (t — 7) (v — у) 147 937 — 2,5-987 145 470
уп __ ______- — _ _ _ —___._____— ] 7 94
1 8395 — 46 ¦ (2,5)2 8107,5 ’ '
Уравнение линии регрессии задается формулой
у = т0 + т1 (< — Т) = у + т, (< —Т). следовательно, в данном случае
у = 1379 + 17,94 (< — 1887,5).
Рисунок 21 покязывает, что эмпирическая линия регрессии очень хорошо согласуется с основным характером роста эмпирической ломаной линии. Это приближен ие можно еще несколько улучшить, добавив к правой части уравнения регрессии квадратичный член т2уа, гДе
П = (I — <)а —У-
Постоянная у подбирается таким образом, чтобы функция была ортогональна постоянной у0 = 1:
2Vo (0 щ (0 =* 0-t
Это приводит к условию
2 (<-Т)а - 46у = 0.
I
И так как — 0* = 8107,5, то у = 176,25.
Метод ортогонализации имеет то преимущество, что для отысканий квадратичного приближения не нужно заново пересчитывать уже вычисленные коэффициенты та и линейного приближения. Достаточно лишь вычислить тг из третьего нормального уравнения и новый член тл, у» прибавить к правой части линейного уравнения регрессии. Осуществление этого плана предоставляется читателю.
§ 34. Выяснение причин изменения экономических показателей
Если некоторый экономический показатель w зависит от величин х,у,. . . и, кроме того, подвержен влиянию других, не поддающихся учету факторов, то можно попытаться найти возможно более тесную зависимость между изменением w и изменением х, у,. . ., что открывает доступ к теоретическому расчету динамики показателя ю.
§ 34. Выяснение причин изменения экономических показателей 181
Классическим примером такого рода исследований служит работа А. Ханау1 о циклических колебаниях цены на свиней. Высокая цена на свиней является для крестьян стимулом к усилению интенсивности свиноводства. Вследствие этого примерно через полтора года количество свиней на рынке увеличивается и цена на них падает. С этого момента начинается обратный процесс и т. д. Если никакие другие причины не нарушают течения такого процесса, то цена на свиней будет претерпевать колебания с периодом примерно в три года.
