Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Примем радиус эксцентрика за единицу. ПустьЛ — угловая координата солнца в момент его вступления в данную часть зодиака. Разность х = ¦= Я. — а называют истинной аномалией. Угловое расстояние на эксцентрике между апогеем А и солнцем S называют средней аномалией] мы обозначим
1 Эксцентриситет — отношение расстояния между землей и центром эксцентрика к радиусу эксцентрика, апогей — точка эксцентрика, максимально удаленная от земли. — Прим. перев.
172
Г л. VII. Метод наименьших квадратов
ее х + а. Разность между истинной и средней аномалиями, равная —ь>, называется уравниванием центра. В частности, если Л = 0, то х = —а и средняя аномалия равна ь>0 — а. По теореме синусов плоской тригонометрии со, х и эксцентриситет е связаны соотношениями:
sin со -- е sin х, sin <о0 = е sin (—а)
со — are sin (е sin ж), ь>0 = — arc sin (е sin а).
(13)
(14)
Так как е мало, то правые части (14) можно разложить в степенные ряды, в каждом из которых мы ограничимся первыми двумя членами:
а =¦ е sin х
е3 sin3 х = е sin х -J-
+ —- е3 (3 sin а- — sin За:) =
= (е -4--------е3) sin х-----------е3 sin За:,
{ 8 I 24
«— — (е + e3j sin а\-|- — е3 sin За.
(15)
Пели в начальный момент т0 солнце имело угловую координату 0 (т. е. находилось в точке 0 эксцентрика), то в точку эксцентрика с угловой координатой А, отсчитываемой по эклиптике, оно придет в момент времени
Т
¦ (ж “1“ (О ------------------ й>0 “Ь а)
центрику.
Т Т го + „—^ „— (ы — “о).
где Т = 365,25 дня — период обращения солнца. Очевидно, что величина ТА/2л равна времени осредненного движения солнца из точки 0 в точку с координатой А (осредненное движение — движение по эклиптике с постоянной скоростью).
Моменты времени т,- отличаются от соответствующих моментов /,• византийских таблиц неизвестными ошибками kj, возникшими в результате ошибок вычислений, описок в тексте и округления. Таким образом, в каждой точке с координатой А; имеет место соотношение
Т Т
I; — т0 — — А,- — — (ь>,- — ы0) = ki. (16)
Z 71 Zn
Если в (]6) вместо ь>; и ы0 подставить ранее найденные выражения (15), то получим уравнения
Т
ti — т0 — -—А, — a (sin т/ — sin х0) — b (sin За:,- — sin За-0) = l’i, (17)
2 n
где
T ( 1 Л T 1
a — — e + — e3 , b --------------------------------— e3 = —
2ji I 8 J 2 л 24
§ 32. Оценка дисперсии сг2
173
и с — известная постоянная. Если, кроме того, воспользоваться равенствами = А,-— а, то система (17) преобразуется к виду
Т
ti — т q-----А,- — a[sin(Af — а) + sina] — b[sin3(A,- — а) + sin3a] = (18)
2 jt
Система (18) состоит из 12 уравнений с тремя неизвестными е, а и т0.
В качестве приближенных значений этих параметров выберем такие числа
шее значение.
Вычисления станут особенно удобными, если сначала пренебречь малыми слагаемыми, содержащими Ь. После того как найдено приближенное значение е, можно вычислить Ь = —с е3 и найти второе приближение,
жение для а в точности равно первому приближению, так как при построении нормальных уравнений члены, содержащие sin За:, взаимно уничтожаются. Таким образом, в (18) можно сразу отбросить члены с Ь и записать систему уравнений так:
и поэтому, в данном случае, нормальные уравнения можно записать совсем просто:
е, а и т0, для которых сумма квадратов kt + . . . -j- (‘^принимает наимень-
считая Ь постоянным и равным Ь. При этом окажется, что второе приблн-
— a cos a sin А,- — a sin а cos А,- =¦ А-,-. (19)
Если ввести новые переменные
и = a cos а, v = — а sin а, w = т0 -)- а sin а = т0 — v, то (19) преобразуется в систему 12 линейных уравнений
(20)
которой соответствует система нормальных уравнении
Вычисление коэффициентов системы (21) не представляет труда:
174 Гл. VII. Метод наименьших квадратов
В указанной выше таблице величины Z,- равны /,•—t__e — TKij2n —
— Т/2, поэтому, если воспользоваться очевидными равенствами
У' зшА,- = cos Я.,- = О,
то последние три уравнения можно будет записать так:
6 и = ? lj sin Л;,
6» = V/jCOsA,-,
Если решения (22) и, «и го найдены, той, а и Tq можно определить из уравнений
