Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1 К о 11 е г S., Oraplu'sehe Tafeln zur Beurteihmg statistisclior Zalilen,
2, Aufl,, Dresden, 1943.
40
Гл. II. Вероятности и частоты
значении р приближенно равна 1 — 2/3. Иными словами (при 2уЗ = = 0,01), утверждая, что точка Q не находится вне эллипса, мы в среднем ошибемся лишь в одном случае из ста.
На практике обычно р неизвестно, a h известно. Прямая с уравнением h — const пересекает эллипс в двух точках, ординаты которых можно найти, решая квадратнее уравнение
Отрезок, соединяющий эти течки, расположен внутри эллипса. Следовательно, если высказывается утверждение, что неизвестная вероятность р заключена между двумя корнями р1 и р2 квадратного уравнения (3), то вероятность сшибки равна 2/3, так как это утверждение эквивалентно утверждению: Q не находится вне эллипса.
Это не означает, что в каждом отдельном случре при заданных кип можно утверждать с вероятностью 0,99, что р лежит между рj и рг. В любом из этих случаев р имеет определеннее, хотя и неизвестное значение, и высказывание: Pi^P^Pi — либо справедливо, либо ложно. Если оно справедливо, то ему соответствует вероятность 1, а если ложно, то — 0. Однако если имеется несколько последовательностей наблюдений, то, вычислив для каждой последовательности значения р1 и рг, статистик может утверждать, что в любом случае Vi^P^Pi- Г1ри этом он ошибется лишь в одном случае из ста. Следует подчеркнуть, что нельзя производить отбор опытов с целью получения какой-то определенной частоты: частоты h должны быть такими, какими они получаются по воле случая.
Решая квадратное уравнение (3), получим значения доверительных границ, между которыми предположительно заключено истинное значение р\
(h — p)2 = 9~p( 1 —р).
(3)
Pi =-
М)
п + (J*
Вычисления по этим формулам довольно утомительны. Более практичен следующий графический прием.
Если в (3) положить
$ 7. Доверительные границы для неизвестной вероятности 47
то уравнение эллипса (3) перейдет в уравнение окружности
х*=р(\—р). (6)
Если h известно, то в плоскости аЮр уравнение (5) задает прямую, пересекающую окружность (6). Эта прямая проходит через точку с координатами (0, h) и имеет угловой коэффициент — gffn. Окружность (6) (диаметром около 10 см) можно заранее начертить на миллиметровой бумаге. Затем на сси Ор (рис. 6) следует отлс-
Рис. 6. Графическое построение доверительных границ.
Р и с. 7. Вспомогательный чертеж.
жить точку 11 с координатами (0, К): через эту точку должна проходить прямая (5). Направление этой прямой можно определить с помощью вспомогательного чертежа (рис. 7) в плоскости XOY-. на осях координат откладывают отрезки длины |/тг и g или, если желают иметь большую точность, отрезки О А = 2 1!п и ОБ = 2д. Направление АВ совпадает с направлением искомой прямой. Величину Jfn можно пацти пли по таблице квадратных корней или графически (если п не очень велико); для этого па оси OY в отрицательном направлении откладывается отрезок ОС — = 2 см, а в положительном направлении — отрезок ОМ = --- (п — 1) см. Из точки М, как из центра, проводят окружность, проходящую через точку С. Эта окружность пересечет ось ОХ в точке А. Диаметр окружности равен 2МС — 2 (п -- 1) см, поэтому (ОА)2 = О С (2МС — ОС) = Ап. Если теперь через точку Н провести прямую, параллельную АВ (см. рис. 6), то эта прямая пересечет пашу первую окружность в двух точках, ординаты которых равны рх и р2. Непосредственно отсчитывая эти ординаты по миллиметровой бумаге, мы найдем искомые доверительные границы. Если воспользоваться лишь верхней (или лишь
48 Г л. II. Вероятности и частоты
нижней) доверительной границей, то доверительный уровень будет равен р.
Указанные здесь приближенные формулы становятся ненадежными, когда одно нз математических ожиданий пр или nq мало. Поэтому формулы (4) или эквивалентное им геометрическое построение я советую применять лишь тогда, когда оба результата на блюдепип
к = !т и п — к — (1 — h)n по величине не менее четырех единиц.
Пример 7. С 1948 по 1952 г. в хирургической клинике Цюрихского университета было произведено 79 легочных операций с целью ликвидации расширения бронхов. Из 79 оперированных пациентов в течение послеоперационной недели умерли трое1. Следовательно, наблюденная смертность равна
3
h ¦ 100 = — • 100 = 3,8%.
79
По формулам (4) или посредством конструкции, указанной на рис. 6, найдем следующие 5%-ные границы2 для истинной смертности (в %):
Р! = 1,3 %, р2 = 10,6%.
Так как наблюденное количество смертельных исходов меньше четырех, то, осторожности ради, следует несколько расширить интервал между доверительными границами и сделать заключение: истинная смертность, по-видимому, более 1% и менее 11%.
Из этого примера видно, сколь мала точность определения вероятности по умеренному числу наблюдений.
