Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
прг прг пр3 прц
Так как по результатам наблюдений оцениваются два параметра р н q, то число степеней свободы равно
/= 4 — 1 — 2 = i.
Оценки параметров р и q очень сложны. Существует более простой способ проверки указанной гипотезы, который практически дает такой же результат, что и общий критерий х2-
Прежде всего заметим, что уравнения (14) определяют в пространстве наблюдений некоторую поверхность F и что Р представляет собой такую точку этой поверхности, которая находится на кратчайшем расстоянии от наблюденной точки Н, в смысле метрики, определяемой выражением у\ Следовательно, х2 — квадрат расстояния от Н до поверхности F.
Вместо параметрического представления (14) поверхность F можно ладать с помощью ее уравнения, которое имеет вид1
VPi + Pt + У Pi + Рз — У Pi — 1 ^ 0. (16)
Если точка Н не лежит на поверхности F, то расстояние от Н до поверхности пропорционально величине
d = YhTh + (17)
Функцию D в окрестности «истинной точки» Р, принадлежащей поверхности F, можно аппроксимировать линейной функцией координат hlt Ьг н Л„.
Положив hi = pi + щ, после небольших вычислений найдем, что
п 1 «1 + м2 1 их + и3 1 щ
и — — -----у- ------------------- = а.и. 4- о2г/о -г- OoWa. (1 о)
2УрГ+р1 2 Ура + рэ 2 Ур!
Случайные величины щ ™ Л/ — р/распределены приближенно нормаль-
но с нулевым средним значением и дисперсиями
&Щ npi(\ —pt). (19)
Согласно (4) § 50, математические ожидания произведений UjU^ также известны:
й щ И к = — «Р/ Рк- (20)
1 Bernstein Б'., Z. ind. Abstammungs — u. Vererbungslehre, 37, S. 245.
256 Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
Таким образом, сумма + а2и2 + а3щ (а вместе с ней и величина D) распределена приближенно нормально с нулевым средним значением и дисперсией
o'2 = ai Q Ui -f- a2 iS Мг + ai <5 из ~r 2oa a2 & ЩЩ -f-
+ 2a1 o3 S «1«з + 3a2 as & «з^з- (21)
Следовательно, случайная величина
асимптотически распределена, как хг с одной степенью свободы. Выражение Xd приближенно равно выражению хг< введенному ранее, и может быть использовано для проверки гипотезы Бернштейна.
При вычислении <гг вероятности р,-, входящие в (18), (19) и (20), можно заменить их приближенными значениями Л/. При тех больших значениях п, которые, как правило, встречаются при данного рода исследованиях, это приближение не может вызывать опасений, тем более что при небольших изменениях р,- величина х2 меняется не очень сильно.
ГЛАВА X
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ БИОЛОГИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
Эта глава посвящена обработке результатов биологических испытаний ядов и других веществ (bio-assay1).
Если подопытные' животные подвергаются действию различных доз некоторого яда, то для каждой дозы наблюдается определенная смертность. Кривая, изображающая зависимость смертности от дозы, называется кривой эффекта. Мы рассмотрим различные методы оценки кривых эффекта по результатам наблюдений. При этом будет предполагаться известным в основном лишь содержание гл. I и И.
§ 52. Кривая эффекта и логарифмическая кривая эффекта
Существуют препараты, действие которых может быть выявлено лишь тогда, когда некоторое количество подопытных животных подвергают действию различных доз испытываемого вещества и регистрируют, сколько животных реагирует определенным образом, например умирает. Каждой дозе соответствует определенная вероятность реагирования, которая может быть аппроксимирована эмпирической частотой. С возрастанием дозы, как правило, возрастает и вероятность р; Если эту вероятность как функцию дозы изобразить графически, то получится кривая эффекта данного препарата.
Очень часто в качестве абсциссы выбирают не саму дозу, а ее логарифм I. Соответствующая кривая в плоскости Юр называется логарифмической кривой эффекта. Одно из преимуществ применения логарифмов заключается в том, что кривые эффектов двух препаратов, отличающихся только различными концентрациями действующего вещества, получаются друг из друга параллельным сдвигом. Величина параллельного сдвига, очевидно, равна логарифму отношения концентраций.
Если имеются два препарата с похожими свойствами и нужно сравнить результаты их действия, то по большей части предполагают, что соответствующие логарифмические кривые эффек-
1 Bio-assay (англ.) — биологическое испытание. — Прим. перев. 17 Б. Л. ван дер Вардеы - 1062
258 Гл. X. Обработка результатов биологических испытаний
тов отличаются также лишь параллельным сдвигом. Только при этом предположении имеет смысл говорить об отношении эффективностей. Логарифм этого отношения опять-таки равен величине
