Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Об асимптотическом распределении оценки lN+1 прежде всего см. работу Чжуна: Chung К. L., On a stochastic approximation method, Ann. of Math. Stat., 25 (1954), 463.
Какой выбор коэффициентов an является наилучшим? Во всяком случае они должны стремиться к нулю, так как иначе, в силу формул (3) и (4), сходимость последовательности 1п к L будет невозможна. С другой стороны, если бы ап столь быстро стремились к нулю, что ряд^ал был бы сходящимся, то с некоторого номера п успех или неудача в очередном опыте почти не оказывали бы влияния на величину последующих доз ln+i,ln+i,. . . ,
так как сумма всех поправочных членов + ^ ап ± 2~a,I+1 i •
по абсолютней величине была бы меньше е. Поэтому ап выбирают таким образом, чтобы ряд ?ап расходился.
Чжун рекомендует выбрать
0<е<1]. (6)
п nl~e I 2
В противоположность этому, Роббинс и Монро выбирают
*п=$. (7)
Коэффициенты (6) столь медленно стремятся к нулю, что это обеспечивает состоятельность оценки при довольно общих предположениях о виде кривой эффекта. При выборе последовательности (7) нужно соблюдать осторожность. Если а — угловой коэффициент касательной к кривой эффекта вблизи от 50%-ной дозы L, то постоянную с в формуле (7) нужно выбрать большей1, чем 1 /(2а).
Если вблизи 50%-ной дозы кривая эффекта приближенно представима некоторой прямой линией, то, согласно результатам Чжуна, при определенных дополнительных предположениях, квадратичное отклонение оценки lN+l будет асимптотически равно
У2ас — 1 YiV ’
(8)
где <тн — квадратичное отклонение для частоты Л, соответствующей дозе, близкой к L. Если п' — количество животных в каждом опыте, то
р?_________L.
4п’ '
(9)
1 Если кривая эффекта задается дифференцируемой функцией р(®) и если о = supp'(®), то с в формуле (7) должно удовлетворять неравенству
X
с > 1/(2о). — Прим. перев.
§ 55. Методы ъвверх и вниз*
271
Выражение (8) достигает минимума при
Но если угловой коэффициент а известен лить приближенно, то с разумно выбрать несколько большим, чем l/а. На квадратичное отклонение это окажет лишь малое влияние, так как функция (8) вблизи своего минимума возрастает очень медленно. Во всех случаях, как уже говорилось, с нужно выбирать большим, чем 1 /(2а). Если с стремится к 1/(2а), то выражение (8) становится очень большим.
ГЛАВА XI
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ С ПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ
Статистические критерии являются важнейшей частью всех приложений. В этой главе мы сначала рассмотрим некоторые наиболее важные критерии и при этом вспомним те из них, которые были уже изложены ранее. Затем мы познакомимся с основными идеями общей теории Неймана и Пирсона.
Если даже читатель изучил и не все предшествующие главы этой книги, то, как я надеюсь, с помощью примеров он сможет уяснить те основные принципы, от которых зависит выбор критерия, соответствующего данным конкретным условиям. Необходимость знакомства с основными понятиями гл. I и II предполагается сама собой разумеющейся. При доказательствах в некоторых случаях будут, конечно, делаться ссылки на более поздние главы (а именно на гл. VIII и IX), а также на дополнительную литературу.
§ 56. Применения критерия х2
Общий критерий х2> выведенный нами в § 51, включает в себя различные специальные случаи, часть которых была уже рассмотрена ранее. Напомним, что критерий %2 применяется тогда, когда по наблюденным частотам нужно проверить некоторую гипотезу относительно вероятностей.
А. ПРОВЕРКА ОДНОЙ ПРЕДПОЛАГАЕМОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть некоторое событие в п независимых опытах наступило хг раз и не наступило х2 раз (sex + хг = п), и пусть предполагается, что вероятность этого события равняется некоторому заданному числу р. Для проверки этой гипотезы полагают q = 1 —р и образуют
y2 = (xi—пР)2 I (хг—пду
* пр ' nq '
(пр и nq — математические ожидания хх и х2). Если %2 оказывается больше некоторой границы, выбранной по табл. 6, то пред-
§66. Применения критерия х2
273
полагаемую вероятность р отвергают. Так как два наблюдаемых количества, а?! и хг, связаны одним линейным уравнением + х2 — = п, то число степеней свободы равно
/ = 2—1 = 1.
Но
— пр) + (хг — nq) = О,
следовательно,
— npf = (х2 — nq)2.
Последнее равенство позволяет записать (1) проще:
2 _ fol —пр)2 (p + q) _ (Ху—пр)2 ,?Ч
npq npq ' ' '
Это в точности то же самое выражение, которым мы пользовались раньше.
Б. НЕСКОЛЬКО ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть имеется выборка объема п из некоторой бесконечной совокупности, разбитой на го классов, и пусть хг,. . . , хт— наблюденные количества выборочных элементов, принадлежащих этим классам, причем х± + . . . + хт= п. Нужно проверить гипотезу, согласно которой вероятности, соответствующие го классам, равны заданным числам plt. . . , рт (например, в случае двух песцепленных генов, Vie> 3/ie> 3/ie< Vie)- С эт°й целью вычисляют
