Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Pi = \
р2 = 2рг + р2 = (р + г)2 — г2, Г (15)
р3 = 2 qr +?'=(? + г)2— г2, I
Pi = 2 pq. >
Эти уравнения можно разрешить относительно р и q:
р = 1 — (q + г) = 1 — УрГ+Уэ. | (lgj
q = 1 — (р + г) = 1 — fpi +р7. \
1 N е у m a n J., Contribution to the theory of the /2-test, Berkeley Sym-pos. on Math. Stat., 1949, 239.
2 Bernstein F,, Z. f. induktive Abstammurigs- und VercrbuDgslehre, 37 (1925), 236.
3 Общее определение совместно асимптотически эффективных оценок для нескольких неизвестных параметров см. в книге Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, М., 1948. — Прим. перев.
§ SO. Асимптотическая эффективность
251
С целью получения для р и q предварительных оценок можно в (16) вероятности Pi, р2 и р3 заменить наблюденными частотами A, А2 и А3. Таким образом, находим
Ро — 1 — У^1 + i _ J ----- У Aj -j- А*. )
Убедиться в том, что эти оценки не являются асимптотически эффективными, можно, например, так. Пусть At, А2, Аа — координаты в пространстве наблюдений, тогда частота ht будет являться функцией этих координат: Aj = 1 — Aj — А2 — А3. Все точки Н с координатами At, Aj, As, для которых оценки (17) остаются постоянными, расположены на прямой
*i + h = (1 — р„)!, |
Ai + А3 = (1 - во)*. j
Эта прямая пересекает поверхность, заданную параметрическими уравнениями (15), в точке Р„ с координатами р,(0), которым соответствуют значения параметров р = р0, 9 = 9о- Если бы оценки (17) были асимптотически эффективными, то прямая (18) была бы перпендикулярна к этой поверхности (или, по крайней мере при больших п, приближенно перпендикулярна к ней) в смысле метрики, определяемой квадратичной формой (§' 48)
Х\= (19)
~ Р,( 0)
Соответствующее условие ортогональности имеет вид
y^L = 0, (20)
где и = (1, —1; —1, 1) — направляющий вектор прямой (18) не — произ-
вольный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности (15). Два таких вектора, v и г/, получаются дифференцированием (15) по р и д. Если координаты этих векторов подставим в левую часть (20), то убедимся, что условие ортогональности не выполняется даже приближенно.
Асимптотически эффективные оценки можно получить с помощью
отыскания максимума логарифмической функции правдоподобия
L(x]p, q) = In ra J- ж2 In (2рг + ps) + x3 In (2qr + ga) + xt In (2pq). (21)
Дифференцирование L по p и q (прн этом следует положить г = 1 —р — q) приводит к уравнениям
хг “Ь xi хг _ хз “Ь xi . *з _ 2*i ^ 2х2 ^ 2х3 (22)
р 2г + р q 2г q г 2r + р ' 2r + q
Для отыскания решения этих уравнений можно, например, р и q заменить новыми неизвестными и и v по формулам
Р = Ро + «.
, . (23)
Я = Яо + ».
н затем дроби в уравнениях (19) разложить в ряды по степеням и и v, удерживая лишь линейные члены. В результате возникнут два линейных уравнения, которые нужно будет разрешить относительно икс.
Как показано в § 48, для отыскания асимптотически эффективных оценок вместо метода наибольшего правдоподобия можно также воспользоваться методами минимума х« и Хх-
252
Гл. IX. Оценка параметров по наблюденным частотам
§ 51. Критерии х2
В § 49 мы вычислили асимптотическую формулу для функции распределения случайной величины
= С)
в предположении, что pt равны истинным значениям вероят-
ностей:
Р?=Р№*). (2)
Однако на практике истинные р* бывают неизвестны, и поэтому их заменяют оценками
Pi = Piib (3)
Выражение
-J=z ^
пр
построенное с помощью таких оценок pit оказывается, вообще говоря, меньшим, чем х2> и имеет другую функцию распределения. Действительно, как мы увидим, случайная величина у2 асимптотически имеет распределение х2 с т—1 —г степенями свободы, где т — число оцениваемых параметров f^, . . ., дт, в то время как, согласно § 49, случайная величина хг> определенная формулой (1), асимптотически имеет распределение %2 с m,—-1 степенями свободы.
Числители и знаменатели каждого слагаемого суммы (4) являются величинами порядка п. В знаменателях р_можно заменить истинными значениями р*, отличающимися от р величинами порядка 1 /Уп: от этого функция распределения хг изменится лишь на бесконечно малую величину. В результате получим видоизмененное выражение
