Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Второй тип — собственные функции с Е < 0, заметно отличающиеся от нуля только в «потенциальной яме», точнее в области U < Е, тогда как в области от U > Е и до бесконечности они убывают очень быстро (экспоненциально); их собственные значения образуют спектр с дискретными уровнями, которые можно расположить по возрастающим собственным значениям Е\,Еъ,___________Лучше всего уяснить себе
это на простейшем примере с одной степенью свободы или с шаровой симметрией, где вычисления могут быть доведены до конца.
хПод частотой здесь понимается число колебаний в 27т секунд.
2«Термы» обычно измеряются в волновых числах, т. е. в обратных длинах волн.
1 LJ Е
Терм, соответствующий энергии Е, равен — = ^ fo ’ ^асто также измеряют
атомную энергию в вольтах, причем полагают Е = еУ, где е обозначает заряд электрона, a V — ускоряющий потенциал в вольтах.
12
Глава I
Для математического исследования задачи собственных значений и в особенности при обосновании теории возмущений целесообразно несколько изменить постановку задачи, поместив рассматриваемый атом или молекулу в отражающий шар (полость) очень большого радиуса R. Тогда собственные функции ф должны исчезать на поверхности шара. При таком ограничении весь спектр становится дискретным.
В области Е > О собственные значения лежат очень близко друг к другу1 и в пределе при R ^ ос дают непрерывный спектр, тогда как в области Е < 0 они значительно более удалены друг от друга и при R —у оо переходят в собственные значения дискретного спектра.
Вышеописанное ограничение конфигурационного пространства имеет то преимущество, что собственные функции являются квадратично интегрируемыми и в большинстве случаев образуют замкнутую ортогональную систему (см. §2). Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться этим ограничением, когда это удобно для вычисления.
§ 2. Линейные операторы. Ортогональные системы
В этом параграфе под «функциями» мы будем понимать непрерывные комплексные функции координат q системы материальных точек.
Мы будем называть скалярным произведением (ср, ф) двух функций риф интеграл
срф dV,
взятый по всему пространству q. Очевидно, что (<р,ф) комплексно сопряжено с (ф, ф) и что для постоянного а
аф) = а((р,ф),
(сар,ф) = а((р,ф),
далее
(<Р,Ф1 + Ф2) = (<Р,Ф l) + (<Р,Ф2), (<Р1 + <Р2,Ф) = (<Р1,Ф) + (<Р2,Ф)-
Частным случаем скалярного произведения является квадратичный интеграл или норма
Мф = (ф,ф) = J фф dV = J \ф\2
dV.
1См.: Курант-Гильберт. Методы математической физики, т. I, глава VI, 1933.
§ 2. Линейные операторы. Ортогональные системы 13
Согласно неравенству Шварца имеем
\(<р,ф)\2 ^NtpNip.
Функция ф называется нормированной, если ее норма равна 1. Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение ((р,ф) = 0.
Введенный в предыдущем параграфе оператор энергии Н обладает следующими свойствами:
Он линеен, т. е.
Н(<р + ф) = Н(<р) + Н(ф),
Н(а(р) = аН((р),
и симметричен или самосопряжен, т. е. для всех функций у?, ф, исчезающих на границе области (или достаточно быстро на бесконечности), имеет место равенство
(<р,Нф) = (Н<р,ф), (2.1)
легко доказываемое интегрированием по частям.
В квантовой механике не только энергии, но и всем другим измеряемым величинам сопоставляют линейные операторы; например, для
Н д
компонент импульса рх = тх и т. д. применяются операторы и
1 С/Х
т. д.; для компонент момента импульса ypz — zpy операторы
ът — h( 9 д \
Н х ~ i Vdz Zdy)
и т. д. Вышеуказанные операторы тоже являются самосопряженными. Когда волновая функция ф является собственной функцией оператора П, т. е. когда ф удовлетворяет граничным условиям и
Пф = \ф^
то говорят, что физическая величина П в состоянии ф имеет точное значение А. Для каждого состояния ф (следовательно, и для такого состояния, которое не является собственной функцией П) можно определить П — среднее значение физической величины П как
14
Глава I
причем ф считается нормированной. Вследствие самосопряженности оператора П все средние значения и, в частности, все собственные значения вещественны.
Две собственные функции самосопряженного оператора относящиеся к различным собственным значениям, всегда взаимно ортогональны.
Доказательство.
Из = Ai^i, Qfo = А2^2 И (S7-01,-02) = {Фи ^2) следует
(Ai^i,^) = (^19^2^2)
