Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
хВо втором приближении учитывается и «поляризация» остатка внешним электроном.
28
Глава I
ложение в степенной ряд начинается с г1. Это объясняет увеличение водородоподобности серий при увеличении /.
§ 5. Теория возмущений
Задача теории возмущений заключается в следующем. Оператор энергии Н состоит из двух частей
Вторая часть представляет собой «возмущающий член» с малым множителем е. Поэтому решаемая задача собственных значений имеет вид
Невозмущенная задача Н°(р = E°ip считается уже решенной. Мы считаем, что собственные функции образуют нормированную
ортогональную замкнутую систему и что соответствующие собственные значения расположены в порядке возрастающих величин.
Нашей задачей является определить в первом приближении, т. е. с точностью до членов порядка г2, собственные функции, и в особенности собственные значения возмущенной задачи.
Мы принимаем, что собственные значения непрерывно и дифференцируемо зависят от е. Следовательно, n-ое собственное значение Еп лежит вблизи собственного значения невозмущенной задачи Е® и может быть разложено по степеням г (ряд Тейлора с остаточным членом)
Сначала мы опустим индекс п и разложим обе стороны (5.1) по ортогональной системе (pv. Мы имеем
Н = Н°+ sW.
(Н° + еШ)ф = Еф.
(5.1)
(5.2)
ОО
1
оо
W(Pn~
1
ОО
Са-Ед + ? X = С\Е.
(5.3)
1
§ 5. Теория возмущений 29
Это уравнение является точным. Е лежит вблизи одного из Е®. Следовательно, если Ед ф Е^, то при малых значениях г величина Е®—Е так же больше некоторого заданного положительного числа. Поэтому (5.3) можно решить относительно сд
г
СХ El - Е ^5'4'
Следовательно, речь идет о том, какие Е® ф Е^.
В невозмущенной задаче может быть к следующих друг за другом равных собственных значений, которые мы обозначим через Е% = Еп+1 = • • • = Е®+к_1 (fc-кратное вырождение). Тогда для Л ф п, n + 1, ... ,n + & — 1 можно применить решение (5.4), откуда следует что с\ с \ ф п, n + 1,... ,п + к — 1 малые величины порядка е.
Но cn, cn+1, ... , cn+/g_ 1 не малы или, по крайней мере, не все малы. Обозначим их предельные значения при е = О через с^, с^+1,... , с®+Л_19 т. е. положим
са = с°х + ¦ • • . (5.5)
Подставив (5.2) и (5.5) в (5.3), сравнивая члены с г и приняв во внимание порядок величины членов с\ с Л ф n, п + 1,... , п + к — 1, получим
n+k — 1
X = Сед (Л = п, п + 1,. .. ,71 + к — 1). (5.6)
п
Исключая с° получим «вековое уравнение»
^пп С ^п,п+1 * * * 'Шп,п+к — 1
^n+l,n ^п+1,п+1 С * * * 'Шп+1,п+к — 1
'Wn+k — l,n ^п+к — 1,п+1 * * * ^n+& — l,n+k — 1 С
= 0, (5.7)
корни которого Cn,Cn+1,--- 5Сп+/г-1 по (5.2) определяют в первом приближении уровни энергии возмущенной задачи, fc-кратно вырожденный терм Е^ вследствие возмущения «расщепляется» на к термов (не обязательно различных). Для каждого корня (\ с помощью (5.6) определяем с°,... , т. е. значения начальных членов рядов сп,... , cn+k-i-
Начальные члены рядов для остальных с\ (т. е. члены с е) получаются из (5.4). Коэффициенты разложения найденного таким образом
30
Глава I
решения возмущенной задачи отличаются только членами первого и высших порядков от коэффициентов линейной комбинации <Рпфп Н------Ь
+ Сп+к-lPn+k-l-
Задачу «приведения к главным осям» (5.6) мы еще рассмотрим далее в § 8. Там будет показано, что г-кратному корню (5.7) соответствует г независимых решений (5.6), как это и требуется для нашей задачи собственных значений. Легко видеть, что решение задачи приведения к главным осям (5.6) одновременно дает «первое приближение» собственных значений и «нулевое приближение» собственных функций. Понятно, можно продолжить апроксимирование до более высоких степеней ?, но мы не пойдем далее в этом направлении.
Полученное первое приближение собственных значений при возрастании е становится неточным, как только в (5.4) знаменатель становится одного порядка величины с числителем, т. е. когда возмущенное значение Е близко к другому терму Е® ф Е^. Тогда говорят, что члены Ед и Е® взаимно возмущены. Но взаимное возмущение исчезает, если исчезают входящие в числитель члены wдд, т. е. два терма Er, Е" не возмущаются, хотя они близки друг к другу, когда w\fi = 0 для Е°х = Е',Е" =Е".
Способ вычисления возмущений меняется, когда «невозмущенные» собственные функции являются не собственными функция-
