Методы теории групп в квантовой механике - Ван-дер Вандер Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие соображения справедливы для любого силового поля с аксиальной симметрией и для любого числа электронов в предположении, что собственные функции можно подобрать так, чтобы они при вращении Da умножались на огЪГП(х. В случае эффекта Зеемана волновые числа для различных компонент расщепленной спектральной линии по (6.6) зависят только от разности т — ш', которая по (6.7) может быть только 0 или ±1. Это значит, что каждая линия распадается на три равно отстоящие компоненты, соответствующие переходам т —У т -\- 1, т —У ш, т —У т — 1, для которых имеет место вышеприведенное правило поляризации. Это нормальный эффект Зеемана. Мы не имеем здесь возможности рассмотреть аномальный эффект, но вернемся к нему в IV разделе при изучении «вращающегося электрона».
хЭти результаты легко получить из классических законов электродинамики, если изменение углового момента на ±1 связать, согласно принципу соответствия, с круговым движением электрона.
Глава II
Группы и их представления
§ 7. Линейные преобразования
п-мерное векторное пространство (ei, ... , е„) образовано линей-
ными комбинациями с\е\ Л-------V спеп п линейно-независимых базисных
векторов ei, ... , еп с комплексными коэффициентами ci, ... , сп, Вообще мы будем называть векторным пространством любую совокупность произвольных величин, состоящую из линейных комбинаций п линейно-независимых величин. Так, например, в рассмотренных в разделе I задачах собственные функции каждого уровня энергии образуют векторное пространство.
Линейный оператор или линейное преобразование А векторного пространства в самое себя переводит каждый базисный вектор в новый вектор
Аеч = е!х = ЕеАаА^ (7Л)
и каждой линейной комбинации v = ^ R\c\ приводит в соответствие такую же линейную комбинацию е'х
Av = ЕЕ €’\0,\цСц*
Коэффициенты Av равны, следовательно,
СХ — а\цсц- (^*2)
При определенном выборе базисных векторов ei, ... , еп линейное преобразование А представляется матрицей
ац а\2 * * * ain
Q"nl &п2 * * * ^пп
38
Глава II
которую часто тоже обозначают через А.1
Применяя два линейных преобразования А и В одно за другим, сначала Б, а потом А, получим произведение преобразований АВ, которое, вследствие соотношения
АВб^ — А(Ве^) — А ^ ^ ?\Ь\ц — ЕЕ
может быть представлено произведением матриц (а^х) • (^Лд) с элементами Е а>с\Ъ\ц-л
Уравнение (7.2) можно записать в виде матричного уравнения
Если детерминант \А\ матрицы А отличен от нуля, то можно решить (7.2) относительно сд и получить преобразование А-1, обратное преобразованию А
А~гAv = v для каждого вектора v.
Поэтому произведение А-1 А, а также АА~г является «идентичным преобразованием» 1, которое представляется «единичной матрицей».
/1 0 •• • 0 ^
0 1 •• • 0
1 0 0 •• • 1)
Если же, напротив, \А\ = 0, то А не имеет обратной матрицы и называется сингулярной матрицей.
¦^ри применении этих формул надо обратить внимание на то, что каждое уравнение (7.1) соответствует столбцу матрицы А, а каждое уравнение (7.2) соответствует строке. Выписывая полностью уравнения (7.1)
Ае 1 = eittn + б2«21 + • • • + enani Ае2 = eiai2 + е2^22 + * * * + бпап2,
мы видим, что матрица коэффициентов справа является транспонированной относительно исходной.
§ 7. Линейные преобразования
39
Введем новые базисные векторы di, ... , dn с помощью базисного преобразования с несингулярной матрицей Р = (рхц)
dv = Pev, ev = P_1d„, Р~г = (qx\),
тогда
Adv — A E СцРцV EE ^хахцРцх =
= EEE dxqxxa\iAPiAv]
откуда следует, что то же самое преобразование А, отнесенное к новому базису, представляется матрицей Р-1 АР. Если мы преобразуем все пространство с помощью преобразования Q, тогда преобразование А переходит в новое преобразование QAQ-1. Действительно, если старое преобразование А переводит вектор v в -ш, то новое преобразование должно переводить вектор Qv в Qw, а это и дает преобразование QAQ-1.
Мы говорим об унитарном векторном пространстве, если установлена эрмитовская форма
(«>«) = ЕЕ ёХцСхСр, §X[i ёцХч
значение которой для любого вектора v = (ci, ... , сп), за исключением v = 0, всегда положительно (определенная положительная эрмитовская форма). При этом скалярное произведение двух векторов определяется выражением
к«о = ЕЕ gx^cxd^. (7.3)
Если оно равно нулю, векторы называются ортогональными.
Можно выбрать ортогональные базисные векторы ei, ... , еп так, чтобы (еА, ед) = 0 для Л ф ц. Тогда gXli = 0 для Л ф ц.1
Далее мы можем нормировать эти векторы так, чтобы (е\, е\) = 1 или g\\ = 1. Тогда
кv) = E5a°a; = E5ac?a’
