Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
теле. — Рассмотрим теперь произвольное движение свободного твердого тела. Пусть О — какая-нибудь точка тела.
q'z — r'y, r'x—р'г, p'y — q'x.
q'z — ш'у, <о'х — p'z, р'у — q'x.
Глава III. Дополнительное изучение ускорения
111
Проведем через нее три подвижные оси, движущиеся поступательно. Тогда движение твердого тела может быть разложено на движение по отношению к подвижным осям Охуг и переносное, которое будет поступательным и определяется движением точки О тела. Сложное центробежное ускорение равно нулю в случае поступательного переносного движения; поэтому ускорение точки М тела равно геометрической сумме относительного ускорения, равного ускорению при движении тела вокруг неподвижной точки, и переносного ускорения, представляющего собой ускорение точки О. Пусть w—ускорение точки О, и р, q, г — проекции на оси переменного вращения ю тела; проведем ось г параллельно оси вращения в рассматриваемом ее положении и в сторону вектора ю: тогда проекции абсолютного ускорения точки М (с координатами х, у, г) будут:
)х = + Я'г — Г'У>
Jy = wy—<»2y-i-r'x—p 'г,
jz — wz —
(2)
Это ускорение равно, таким образом, сумме трех ускорений: ускорения у0 точки О тела, выбранной произвольно, нормального ускорения Тп при непрерывном вращении вокруг оси, параллельной вектору ю и проходящей через О, наконец, третьего ускорения с проекциями q'z — г'у, . .. , интерпретацию которого мы дали в предшествующем п°.
Если направление вектора ю остается неизменным, то р' и q' постоянно равны нулю, и третье ускорение совпадает с касательным ускорением, получающимся при вращении. Отсюда имеем следующую теорему:
Если вектор о> мгновенной угловой скорости остается параллельным постоянному направлению, то ускорение любой точки тела равно геометрической сумме ускорения точки О тела, взятой произвольно, и ускорений касательного и нормального в непрерывном вращении ы вокруг точки О.
112 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
94. Центр ускорений.—В движущемся твердом теле, вообще говоря, существует точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка х, у, z определяется следующей системой уравнений, вытекающей из системы (2):
2х — q'z-j- г'у = wa
- г'х -(- p'z —р'У 4>х = wz-
Система (3) будет определенной, если ее детерминант
(3)
д = (О9 г' --- я = а>э(р'2 -(- у'2)
---/ т°- Р’
я'- -Р' 0
отличен от нуля, что имеет место в общем случае. Таким образом, если Д отличен от нуля, то существует единственная точка тела, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют центром ускорений.
Предположим, что мы выбрали подвижные оси Охуг таким образом, что точка О в данный момент совпадает с центром ускорений; тогда w равно нулю, и уравнения (2) совпадут с уравнениями (1), относящимися к случаю, когда точка О неподвижна. Отсюда получаем следующую теорему:
В каждый момент времени в движущемся твердом теле существует такая точка, что, с точки зрения ускорений, движение тела происходит так, как если бы оно совершало переменное вращение ы вокруг этой точки, рассматриваемой как неподвижная. Эта точка, изменяющая с течением времени свое положение в теле, есть центр ускорений.
95. Исключительный случай при определении центра ускорений. — Предыдущая теорема и существование единственного центра ускорений могут иметь исключение лишь в том случае, когда определитель Д обращается в нуль в рассматриваемый момент t.
Г лави III. Дополнительное изучение ускорения
из
Для этого нужно, чтобы мы имели:
или со — 0, или р' ¦= q’ — 0.
Первый случай. Пусть »=0 в момент t, тогда уравнения (3) будут несовместны, и мгновенный центр ускорений, вообще говоря, не существует. Исключение представит только тот случай, когда выполняется условие:
p'™x + q'wv-{-rfwz = о.
Это условие показывает, что если вектор ы откладывается от неподвижной точки, то скорость^ его конца
перпендикулярна к ускорению некоторой точки тела (которая в остальном может быть какой угодно). Если условие выполняется, то уравнения (3) представляют
собой уравнения прямой, параллельчой ^, все точки которой суть центры ускорений.
Если ш постоянно равно нулю, то р', q , г' тоже равны нулю постоянно, и уравнения (3) имеют следствием w = 0. Центр ускорений может существовать при таких условиях лишь в том случае, когда движение твердого тела приводится к равномерному поступательному, что очевидно a priori.
Второй случай. Предположим, что вектор ы не равен нулю в момент i, но что р' — q' — 0. Уравнения (3) приводятся к виду:
(В 2X-\-r'y — Wx, Ш2у r'x — Wy, wz = 0.
Так как последнее равенство, вообще говоря, не имеет места, то центра ускорений не существует. Центр ускорений существует лишь в том случае, когда удовлетворяется уравнение wz — 0; в этом случае имеется бесконечное число центров, расположенных на прямой, которая определяется двумя уравнениями, предшествующими этому последнему уравнению. Эта прямая параллельна оси Oz,
