Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы имеем, таким образом, следующую теорему:
В каждый момент времени (исключая момент, когда ш = о/ = 0) существует единственная тонка фигуры, ускорение которой равно нулю (эту точку называют центром ускорений); ускорения всех остальных точек таковы, как если бы фигура вращалась вокруг этого центра, предполагаемого неподвижным, с переменной угловой скоростью <о.
85. Определение нормального и тангенциального ускорений точки фигуры. Окружность и полюс перегибов.— Выберем для простоты оси координат специальным образом (фиг. 17). Поместим начало в мгновенном центре вращения С и проведем ось Сх по направлению ускорения fc точки С движущейся фигуры. Проекции на оси Сх и Су равны тогда (п° 83)
fc = <*>у0' >0, — <ол:0' = 0 (отсюда х0' = 0).
Пусть w есть вектор скорости переменного мгновенного центра С; проекции этого вектора на оси равны лг0', у0'; но Xq равно нулю, так что w совпадает со своей проекцией у0' на ось Су\ мы можем поэтому положить, по величине и знаку,
а>=Уо',
7 Зале. 1V58.
98 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
где w есть алгебраическое значение скорости мгновенного центра С (скорость считается положительной, если ее направление совпадает с Су). После этого имеем
Те = > °-
Таким образом, w имеет знак, одинаковый со знаком to, и, следовательно, вектор скорости w повернут относительно ускорения ~(с на прямой угол в сторону вращения со.
Полное ускорение точки М получается сложением ее ускорения при круговом движении вокруг С с ускорением 7Э. Нормальная и тангенциальная составляющие полного ускорения параллельны аналогичным составляющим в круговом движении (исключение представляет лишь точка С), так как СМ есть нормаль к траектории. Поэтому чтобы получить составляющие полного ускорения, нужно прибавить соответственно к уп и yt составляющие ус по тем же направлениям. Выполним эти вычисления.
Пусть г и »— полярные координаты точки М (предполагаемой отличной от С), т. е. г есть радиус-вектор СМ, и ® — угол его наклона к Сх (фиг. 18). Так как ускорение fc направлено по Сх, и положительное направление нормали есть МС, то алгебраическое значение полного нормального ускорения, ]п, будет
Jn = Тп — Те cos ? = 0)2/' —<ow cos ?•
Глава III. Дополнительное изучение ускорения
Обозначим через и величину (положительную вместе С Yc =х= Wa>)
и --
W
тогда значение нормального ускорения равно jn = О)2 (г — и cos ф).
(4)
Переходим к тангенциальному ускорению. Положительная ориентация для этого ускорения определяется направлением прямого вращения вокруг точки С *), поэтому имеем
jt—'it—Тоs'n 9 = г<0' — sin ср. (5)
Рассмотрим некоторые приложения этих формул.
Найдем сначала геометрическое место точек движущейся фигуры, нормальные ускорения которых в момент t равны нулю. На основании формулы (4) уравнение этой кривой имеет вид:
г = и cos ®.
Отложим на оси Сх (фиг. 19) от точки С в положительную сторону отрезок СК, равный а (т. е. w : (о); предшествующее уравнение есть (в полярных координатах г/f) уравнение окружности, построенной на СК как на диаметре. Эта окружность называется окружностью перегибов, а точка К—полюсом перегибов. Точки фигуры, расположенные на этой окружности, проходят в данный момент через точки перегиба своих траекторий, так как их нормальные ускорения R равны нулю. Обратно, если какая-нибудь точка проходит через точку
*) Иначе говоря, положительное направление на касательной определяется направлением вращения от оси Сх 'к оси Су. (Прим. перев.)
7*
10д Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
перегиба своей траектории, то она должна находиться в данный момент на этой окружности, так как г>а : R для нее равно нулю. Кроме того, касательная к траектории в этой точке проходит через полюс перегибов К, так как, с одной стороны, эта касательная перпендикулярна кМС, ас другой, угол КМС должен быть вписан в полуокружность, если точка М лежит на окружности перегибов.
Найдем также геометрическое место точек фигуры, касательные ускорения которых равны нулю. На основании формулы (5) уравнение этого геометрического места будет
СО
Г = —г w sin 9.
ui *
Отложим по оси Су отрезок С/, равный по величине
СО
и знаку w; предыдущее уравнение есть уравнение окруж-
ност(«, построенной на отрезке С/ как на диаметре.
Точка К удалится в бесконечность, если угловая скорость (о обратится в нуль; точка I удалится в бесконечность, если угловое ускорение а/ будет равно нулю, а <о будет отлично от нуля. Если же обе величины ш и а/ равны нулю, то положение / сделается неопределенным. Исключим этот последний случай, тогда обе указанные окружности (имеющие общую точку С) пересекутся в другой точке С', полное ускорение которой равно нулю: эта точка есть поэтому центр ускорений.
