Лекции по теоретической механике 1 - Валле-Пуссен Ш.Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Г Л А В A III
ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. ОБ УСКОРЕНИИ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ
80. Теорема Кориолиса. — Если движение точки М одновременно отнесено к неподвижной и к подвижной системам осей, то между ускорениями в абсолютном и относительном движениях имеет место соотношение, аналогичное тому, которое связывает абсолютную и относительную скорости движущейся точки, но менее простое. Это соотношение выражается основной теоремой, которую мы сейчас установим и которая известна под названием теоремы Кориолиса.
Пусть хи уи гх — координаты точки М относительно трех прямоугольных неподвижных осей Olxlylzv и х, у, г— йбординаты той же точки относительно подвижных Осей Охуг. Положение подвижной системы определяется координатами S, т|, С ее начала О и направляющими косинусами а, Ь, с,... ее осей Ох,... относительно неподвижных осей. Абсолютные и относительные координаты точки связаны между собой формулами преобразования координат, из которых достаточно написать первую:
xl = ? -f- ах -{- by -j- cz.
Дифференцируя это равенство два раза по времени, получим
__„ dbc , . (Ру , dp2 i Л , <Ра .
dP ~ dfl ^ dP ' dfl * dfi' dpi
, ' й I d2c , 0fdadx .dbdy dcdz\
'ydP~T~ZdP~T~ \dldt+dtdt+TtTt)'
Левая часть написанного уравнения есть проекция jXl абсолютного ускорения J точки М на неподвижную ось О^,
92 Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
В правой части слагаемые написаны в трех строках.
Если \, а, Ь, с постоянны, т. е. если подвижные оси остановлены в занимаемом ими положении, то jXl приведется к членам первой строки. Следовательно, эти члены представляют собой проекцию j' относительного ускорения j' на ось 0Lxt.
Если jc, у, г постоянны, т. е. если точка М неподвижна в подвижной системе координат, то jXl приведется к членам второй строки. Эти члены дают, таким образом, проекцию jj^ переносного ускорения j".
Наконец, члены третьей строки можно рассматривать как проекцию на ось 01х1 вектора j'", приложенного в точке М и называемого добавочным ускорением, или ускорением Кориолиса.
Мы получаем, таким образом, соотношение
l j х1 "Ь" j а?! ~j
Очевидно, имеют место два аналогичных соотношения йежду проекциями векторов ,/, /, j", jm на две другие неподвижные оси 0±у{ и 0^L. Аналитические выражения этих проекций получаются из уже гаписанного круговой перестановкой букв хуг, и введением соответствующих направляющих косинусов. В результате получаем геометрическое равенство
J-j'+f'+Г-
Отсюда следует теорема Кориолиса:
Абсолютное ускорение точки, отнесенной к подвижной системе осей, равно геометрической сумме ускорений: относительного, переносного и добавочного.
81. Определение добавочного ускорения. — Чтобы получить проекцию v' скорости переносного движения точки М на неподвижную ось О^, нужно продифференцировать, считая х, у, г постоянными, равенство
Глава III. Дополнительное изучение ускорения
93
что дает
II di . da . db , dc
v^ = dt + xdF+yTt + 2TC
На основании результатов, полученных в кинематике твердого тела, мгновенное движение системы отсчета Охуг разлагается на постугательное движение со скоростью а точки О и на вращение ю вокруг оси, проходящей через О. Проекция вектора а на ось Oixi есть
— й Ц*1 — dt -
т. е. равна первому члену в выражении для v'x ; поэтому следующие члены
da , db , dc
xdt+ydt^zdt
представляют собой проекцию на ту же ось скорости точки М (х, у, г), вызванной только переносным вращением (о подвижной системы координат. Эта скорость равна векторному произведению
[/ЙОю] = [taOM],
Возвратимся теперь к проекции на ось OixL добавочного ускорения
„ fda dx , db dy . dc dz J*i~~ J\dt dt i dt dt^Ttdt
Сумма в скобках представляет собой выражение, в которое обращается проекция скорости точки при переносном вращении о>, если относительные координаты точки х, у, г
заменить на координаты^, ~', ^ индекса ее относительной скорости v' для того же начала О, или, что то
же самое, если заменить вектор ОМ вектором v'. То же заключение относится и к проекциям вектора Jm на две другие неподвижные оси, и, следовательно,
,Г = 2 [ой/].
iU Часть первая. Кинематика точки и твердого тела
Мы имеем поэтому следующую теорему: Добавочное ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения н г относительную скорость движущейся точки. Оно, следовательно, перпендикулярно к относительной скорости.
Проекции добавочного ускорения /" на подвижные оси Охуг получим, проектируя на них произведение [сох»']. Пусть р, q, г — проекции угловой скорости переносного вращения на подвижные оси; тогда
