Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
vx==vx(y), vy = vz = 0. (7.1)
Выпишем систему уравнений движения сплошной среды в виде
). (7.2)
dt р \ дх ду дг divv = 0.
Для составляющих xik имеем равенство
II || = —- р/ + 2ц || еа ||. (7.3)
При предположениях (7.1) достаточно рассмотреть только одно уравнение—проекцию уравнения движения на ось х, остальные три уравнения системы (7.2) удовлетворяются автоматически. Уравнение (7.2) в проекции на ось х дает
' <7-4>
Из (7.4) имеем = Отсюда
dy dy
7у' =
=Ci S +Сг- (7,5)
261
Постоянные Cj и С2 определяем из граничных условий
Vx\y-0=Vo, О* и» = о»- (7.6)
Из (7.5) и (7.6) получим
оо
| = Сг, +
»о =
о
Решение поставленной задачи имеет вид
у
Г°° dy
Jo Му)
Чтобы полученное решение имело смысл, надо, чтобы интеграл
С -4^-г был ограниченной величиной. Если [ < оо, то
Jo Му) Jo Му)
в полупространстве жидкость движется с распределением скоростей (7.7). Если интеграл расходится, то формула (7.7) дает для всех у: vx = Уо — поставленная задача не имеет решения (например решения не будет, если ц (у) = ky + ц0) •
ГЛАВА XX
ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В этой главе рассматривается подобие течений вязкой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, в предположении, что коэффициент вязкости ц постоянен. Вопрос о подобии имеет значение и при рассмотрении теоретических вопросов, и особенно при экспериментальных исследованиях. В частности, нужно знать те условия, при выполнении которых результаты экспериментальных исследований над моделями можно переносить на реальные объекты.
§ 1. СХОДСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ТОЧКИ
Рассмотрим два течения вязкой жидкости с разными коэффициентами вязкости около двух геометрически подобных тел.
Пусть сь а2— характерные размеры первого и второго тел. Движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости vi около первого тела будем описывать с помощью переменных xi, у\, г\, t\. Аналогично движение вязкой жидкости с коэффициентом вязкости V2 около второго тела будем описывать с помощью пере' менных x<i, у2, z2, t2. Так как размерность коэффициента вязкости [v] = ~y~ > то величина имеет размерность времени:
[^-| = 7\ Величины а\ и а2 определяют естественный линей-
a? al
ный масштаб в первой и второй задачах, величины — и —
могут быть приняты соответственно за масштабы времени. Имея это в виду, введем безразмерные координаты и время для каждого течения с помощью соотношений
|, = Л. л,=а. tl = i. = (/-1,2).
ai ai ai aihi
Сходственными пространственно-временными точками для двух течений около геометрически подобных тел будем называть точки (Xi,yi,Zi,ti), для которых безразмерные координаты и безразмерные времена одинаковы, т. е. точки, для которых
"ПI== "Пг» Si — ?2, Ti = t2,
или, что то же самое,
Х\ __ х2 У\ _ г/2 z| ___ гг V\t\ _ v2/j
9 ' f > 2 2 *
С| Cl 2 d| 0>2 CL 2
В безразмерных координатах рассматриваемые геометрически подобные тела будут иметь характерный размер, равный единице, и оба тела будут геометрически тождественны.
263
§ 2. ЗАПИСЬ УРАВНЕНИИ ГИДРОМЕХАНИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ
Имеем систему уравнений вязкой жидкости
dv . dv . dv . dv 1 . ¦ *
-dt+v*-dZ + vy-dj + v‘W = B-J g^dp + vbv,
dvx dvy dvz дх + ду + дг ~U'
Предположим, что вектор g массовых сил постоянен в пространстве и времени. Обозначим через а характерный размер рассматриваемого течения (например, хорду или размах крыла) и введем вместо х, у, г, t безразмерные координаты и время по формулам
а2
х = а&, у — ат), z = a?, / = —т. (2.2)
Введем безразмерные функции
«--St. (2.3)
Нетрудно проверить, что величины и, П, \ безразмерны, так как
w-м-и- ю-м-ш м-и-и.
Будем теперь рассматривать и, П, \ как функции безразмерных переменных |, т], ?, т. Заменим в уравнениях (2.1) координаты х, у, г на g, т), ? и время / на т по формулам (2.2). Заме-
