Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из предыдущего ясно, что функция (2.7) — решение уравнения
(2.1) (поскольку v0 и у—) — решения этого уравнения).
253
Кроме того, эта функция удовлетворяет граничным и начальным условиям. Действительно,
при г > 0 t-*0, vx(z, t)-*0,
при 2 = 0 t > 0, vx (0, t) = vq.
Возьмем теперь произвольное положительное 2. В момент t — 0 скорость в точке с координатой г была равна нулю. Затем
скорость будет возрастать. Если t -> оо, тоФ ^ ^ j-»0 и
vx(z,t)->vo. Это означает, что плоскость постепенно увлекает за собой всю жидкость.
§ 3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ
Пусть пространство между двумя параллельными плоскостями у = ±h заполнено вязкой жидкостью. Требуется отыскать все возможные одномерные установившиеся течения. Из
физического смысла задачи следует, что течение плоское; примем, что vx Не зависит от 2: v = vx(y). Уравнение (1.13) для нахождения скорости в этом случае примет вид
^ТПГ = -?-> (3.1)
dy2 |1 Ал: '
Др Рг — pi где -г— = ----------заданная постоянная.
1лХ Х2 — Х\
Решение уравнения (3.1) должно удовлетворять граничным условиям на стенках (условиям прилипания), а именно, если гг] и «2 — скорости верхней и нижней стенок, то
vx\y=h = vu vx\y„-h = v2. (3.2)
Общее решение уравнения (3.1) имеет вид
Ux==]i"a7 ^ “Ь “Ь ^2. (3.3)
где Ci и С2 — произвольные постоянные. Определяя С\ и С2 на основании граничных условий (3.2), получим для vx формулу
1 Ар , , /2\ I v> — v, + v2 ,0
-а> + -2А— У + —2~’ <3*4)
В случае, если движение безнапорное, т. е. ^ == 0, имеем линейное распределение скоростей
v\ — vt .. I а2 + 01 /о
= —2~У+~----------• (3-5)
254
Остановимся на случае, когда обе стенки неподвижны. Тогда Vi = V2 — 0, и решение (3.4) примет вид
°х = — ~щг '&х ~ у2}’
Выражение в скобках в силу \у\ ^ h неотрицательно, так. что жидкость всегда движется в направлении падения давления. Максимальное значение скорости vx достигается при у = 0. Зависимость vx = vx(y) имеет вид параболы (рис. 53).
Подсчитаем расход жидкости через сечение между пластинами при толщине слоя вдоль оси г, равной единице:
Q==SS^dS==S/zS (3-7)
S
т. е. расход прямо пропорционален падению давления, кубу расстояния между пластинками и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
§ 4. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в круглой трубе радиуса R (рис. 54). Труба неподвижна, ось х
совпадает с осью трубы. Для определения поля скоростей надо
решить уравнение (1.13) при условии, что в любом поперечном сечении на контуре трубы у2 + z2 = R2 скорость равна нулю. Естественно ввести цилиндрические координаты. Переходя от координат у, z к координатам г, 0, получим у = г cos Q, z —
— г sin 0,
д2 . д2 _ д2 1 д , 1 д2
ду2 “Г dz2 ~ дг2 + г дг + г2 дв2 '
Исследуемое течение осесимметрично, поэтому vx зависит лишь от г. Уравненне (1.13) при этом становится обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка,
255
Таким образом, задача свелась к решению уравнения
d2vx . \ dvx _ \ Ьр ,
dr2 ^ г dr [i 4i
при условии
а.Л~д = 0. (4.2)
Уравнение (4.1) можно переписать в виде
^(4)=1Г- (4.3)
г ar \ dr J ц Да: v ’
Интегрируя, получим
dvx _ J_ _Дr*_ г
dr ц А* 2 ‘ >>
“.“I-S7T + С.1ПГ + С,. (4.4)
Постоянную С[ следует положить равной нулю, так как иначе
на оси трубы г = О скорость будет неограниченной величиной,
что не имеет физического смысла. Постоянную С2 находим из граничного условия (4.2):
I Ар R2 п г\ r 1 др R2 ,л гч