Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
p(x,xfyt) = p(x',x,t)* = Ф(ж,?) • Ф*(ж',?), (1-13)
или эквивалентный ей эрмитовый оператор (матрицу) плотности
fli) = |Ф(*)М*(*)|, (1.14)
где (Ф(?)| — эрмитово-сопряженный вектор состояния (бра). Оператор такого типа называется проекционным. Это название связано с тем, что действие оператора на любой другой вектор состояния |Ф) проектирует его в гильбертовом пространстве на направление (одномерное пространство), определяемое вектором |Ф(?)). Оператор плотности и вектор состояния — два равносильных способа описания чистого состояния квантовой системы.
30
Глава 1
Учитывая нормированность векторов состояний (Ф(?)|Ф(?)) = 1, для оператора плотности чистого состояния найдем
p(t) -p(t) =p(t). (1.15)
Разлагая волновую функцию Ф(x,t) по произвольно выбранной в качестве базиса совокупности ортонормированных стационарных волновых функций фп(х), для матрицы плотности чистого состояния квантовой системы (1.13) получим
p(x,x',t) = 'Y^/am(t)^*m(x') -ап(Ь)фп(х) = ^рптЦ)фп(х)ф^п(х').
п,т п,т
(1.16)
Положительно определенная матрица чистого состояния в п-пред-ставлении принимает вид произведения коэффициентов разложения pnm(t) = an(f)a^(f). Откуда следует свойство для элементов матрицы плотности в произвольном представлении
РппРтт — \Рпт | • (1.17)
Поскольку путем должного выбора базиса матрица плотности всегда может быть приведена к диагональному виду, когда рпт = 0 (п ф ш), то из (1.17) следует, что отличным от нуля будет только один диагональный матричный элемент, равный к тому же, в силу условия нормировки, единице.
Взаимодействие квантовой системы с окружением, к которому относится и измерительная система, приводит, как и в классическом случае, к флуктуациям (шумам) ее макроскопических характеристик, необратимым процессам диссипации энергии квантовой системы и к необратимому квантовому эффекту — разрушению квантовой когерентности или так называемой декогерентизации (decoherence)1 квантовых состояний (см. ниже). В конечном счете квантовая система достигает термодинамического равновесия с окружением. В этом случае состояние системы называется смешанным (некогерентным). Оно описыва-
ХВ отечественной литературе еще не устоялся термин, соответствующий английскому decoherence, означающему процесс потери когерентности. Употребляются, например, такие термины как декогеренция, декогерентность, дефазировка. Нам представляется, что правильнее пользоваться термином декогерентизация.
1.2. Основные понятия квантовой теории информации
31
ется уже не волновой функцией, а положительно определенным оператором (или матрицей) плотности р, совпадающим в случае чистого состояния с приведенным выше проекционным оператором (1.14). Оператор плотности смешанного состояния квантовой системы можно рассматривать как результат усреднения проекционного оператора более общей замкнутой системы, включающей как рассматриваемую квантовую систему, так и окружающую среду, по неконтролируемым состояниям последней.
1.2.2. Энтропия фон Неймана
Основным понятием квантовой теории информации является введенное фон Нейманом [1.18] понятие информационной энтропии квантового ансамбля (энтропия фон Неймана), определяемой выражением:
Легко видеть, что для чистого состояния энтропия S(p) = 0, означающее полную его определенность. Максимальное значение энтропии фон Неймана соответствует равновероятному распределению D собственных значений матрицы плотности S(p) ^ log2 D.
Энтропия фон Неймана S(p) для сигнала, представляющего ан-самбль чистых квантовых состояний, может интерпретироваться аналогично энтропии Шеннона как количество информации, которое может быть передано на выход канала или преобразовано в квантовой системе с идеальной точностью. Точность воспроизведения (fidelity) F(p) определяется как вероятность того, что сигнал на входе, описываемый чистым состоянием с оператором плотности /^п, на выходе будет описываться операторами плотности pout
Вероятность получаемой ошибки г при передаче сигнала при этом равна 1 - F. Если шумы и помехи отсутствуют, то pout = p*n, и поскольку для чистых состояний pinpin = pin5 будем иметь идеальную точность F = 1.
В отличие от матрицы плотности чистого состояния матричные элементы матрицы плотности смешанного состояния в произвольном представлении вместо (1.17) подчиняются неравенству Рпп Ртт ^ Рпт I2 [1-19].
S(p) = -Spplog2p ^ 0, Spp = l.
(1.18)
F — Sp pin Pout — 1 ? ^ 1.
(1.19)
32
Глава 1
Оператор плотности смешанного состояния квантового ансамбля можно представить как взвешенную сумму проекционных операторов ра = |фа) • (фа|, представляющих отдельные а-е парциальные чистые состояния с весовыми множителями pa(t)i являющимися вероятностями парциальных чистых состояний:
