История теории эфира и электричества - Уиттекер Э.
ISBN 5-93972-070-6
Скачать (прямая ссылка):
состоит из ламинарного движения {/(у), 0, 0}, которое накладывается на
однородное, изотропное, мелкозернистое распределение (иg, vg, Wg): так
что в самом начале времени скорость равна {/(у) +ио, Vo, Wo}. Необходимо
найти функцию та-
кую, что в любое время t скорость будет равна {/(уД) + ur, v, w}, где и1,
v, w - величины, среднее значение каждой из которых, взятое по достаточно
большому пространству, равно нулю.
Подставляя эти значения составляющих скорости в уравнение движения
du = _vdu _ vdu _ wdu _ 9р
dt dx dy dz dx'
получаем
df(y,t) , dv! t, ^du' df(y,t)
-"-+"-= /("•* )te-v-gj-
-u'Sf-,M
ox ay uz ox
Возьмем теперь средние обоих членов по плоскости xz. Величины
dv!/dt, duf/dx, v, dp/dx имеют средние значения, равные нулю;
1Phil. Mag. (1887), с. 342; Кельвин Math, and Phys. Papers, IV, с. 308.
352
Глава 9
таким образом, уравнение принимает форму
^i=-A(u'Sf+tM+um.
at \ ох оу Oz)
если символ А использовать для обозначения того, что среднее по плоскости
xz нужно брать из нижеследующей величины. Более того, несжимаемость
жидкости выражена уравнением
ди' , ft) | дги _ г, дх ду dz '
откуда
0 = _А(гЖ+М'^+г/^У
V ох оу OZ )
Если это уравнение добавить к предыдущему, то первая и третья пары
слагаемых второго члена исчезают, поскольку среднее по х любой
производной dQ/dx исчезает, если Q - величина конечная для бесконечно
больших значений х. Таким образом, уравнение становится
= Лд{ц'у) dt ду
Из этого видно, что если бы турбулентное движение постоянно оставалось
изотропным, каким оно было в начале, то /(у, t) постоянно сохраняла бы
свое критическое значение /(у). С целью исследования отклонения от
изотропии мы определим Ad(u'v)/dt, что можно сделать следующим образом:
умножим уравнения движения по и и V на V, и' соответственно и, сложив их,
получим
дf(y,t) , d(u'v) ^d(u'v) 2 о>/(yt) ,d(u'v)
vSr- + = ГГ
diu'v) diu'v) dp ,dp
- v--------w- и тг-
ау dz dx dy
Взяв среднее no xz от этого выражения, мы наблюдаем, что первое слагаемое
первого члена исчезает, поскольку Av равно нулю; и первое слагаемое
второго члена тоже исчезает, так как Ad(u'v) / дх равно нулю. При
обозначении за iji?2 среднего значение и2, V2 или w2, так
Модели эфира
353
что R можно назвать средней скоростью турбулентного движения, уравнение
становится
где
^ . г ,d{u'v) d(u'v) d(u'v) dp ,дрл
Q = A\ u'^-A- + 3 +w/+ u'jf .
I dx dy dz dx dy J
Запишем p как (p' + w), где p' обозначает значение, которое имело бы р,
если бы / равнялась нулю. Уравнения движения тотчас же дают
_у2?7 - (ди\2 I (9v.\2 I (9w^2 , ndv ди> , оdw ди , ^ди dv.
\дх) \ду) \dz) dz dy dx dz dy dx'
и вычитая формы, которые принимает уравнение в этих двух случаях, мы
имеем уравнение
V72 . r,fd{yi t) dv
которое, когда турбулентное движение является мелкозернистым, так что
/(у, t) является практически постоянной в тех диапазонах, где и', v, w
пробегают все свои значения, можно записать как
пд/{уД)^_2дУ
СО Z V о *
ду дх
Более
того, мы имеем
. г .diu'v) diu'v) d(u'v) dr
0 = 3 и'Л-L + v^-Л + w^-A- +
I dx dy dz O'.
так как положительные и отрицательные значения и', v, w появляются с
равной вероятностью. Следовательно, значение второго члена этого
уравнения удваивается при добавлении к нему того значения, которое
получается при замене и', v, w на -и', -v, -W, что (как можно увидеть при
изучении вышеприведенного уравнения по V2p)
354
Глава 9
не изменяет значение р'. Сравнивая это уравнение с тем, которое
определяет значение Q, мы имеем
ду,
или, заменяя со,
g = _2ЩАА(уА. + и>АЛ V-2^.
ду \ дх ду) дх Изотропия по х и z дает уравнение
2A(V0~k + = A{V0(io + io) +
+ (Mo^ + ^o^)^}v-2"o. Но, интегрируя по частям, мы получаем уравнение
А (d I д \ д ут-2 _ д( du0 I 9wp\ д У7-2 .
^¦(м0о-г>о - - А( ---------------1--- т^-V vq,
\ дх dzJdy \ дх dz J ду
согласно условию несжимаемости, второй член можно записать как
А ¦ (dv0/dy) ¦ (д/ду) • V_2u0, или - Av0{d2/dy2)X7~2v0; таким образом, мы
имеем
п _ df(y, t) Л f д2 М V7-2
Qo ду \щ\дх2 dz2 ду2)г v°-
Вследствие изотропии мы можем записать i для
д2 о2 д2 w2.
дх2 ду2 dz2
таким образом,
R2 9f{y, t)
Qo -
9 ду '
Модели эфира
355
и, следовательно,
dt(t=о) 9 I- dy Jt=o
Отклонение от изотропии, показанное этим уравнением, очень мало из-за
малости df(y, t)/dy. Следовательно, уравнение не ограничено начальными
значениями двух членов, поскольку мы можем пренебречь бесконечно малым
отклонением от (2/9) Д2 в первом множителе второго члена, принимая во
внимание малость второго множителя. Значит, для всех значений t мы имеем
уравнение
^,Л) =
которое, в сочетании с уравнением (1), дает результат
форма этого уравнения показывает, что ламинарные возмущения
распространяются в вихревой губке так же, как волны деформации в
однородном упругом твердом теле.
Вопрос устойчивости турбулентного движения остался без ответа; видимо, в
то время Томсон считал вероятным, что это движение будет претерпевать
рассеивание. Однако два года спустя^ он показал, что устойчивость
