Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
К=-оо
-ь" /
sinu; =(1 -е2)'/" 2 7ft-i(*e)sin А:?.
fe=-ОО
С помощью же (5i) и (21) получим, что
3 Jh-i(ke)
х = - - ае + а У) --------------?----cos К,
Аяэ-ОО
" Jft-i(^e) г/ -а( 1 - в2)V" 2 ---------------------------sinkt,.
ft=E-оО
251
(25)
(26)
Дифференцируя (26) дважды по ?, используя (6i), (6г), (14i) и сопоставляя
результат с (li) § 258, получим формулы
+оо
az cos (и; ш) , , ., .
= 2 (/ее) cos /с?.
rZ ь
A=s- оо
*jdn(." + M) = ~ "s_,(te)sinit
А=-о
(27)
Такие операции можно продолжать бесконечно. Разложения, приведенные выше,
встречаются очень часто при применении теории возмущений к солнечной
системе.
§ 279. В соответствии с (72) формулы (26) представляют собой разложения в
ряды Фурье декартовых координат х - х (t), у = = y(t). Соответствующие
разложения (22з), (25) для полярных координат (см. (6j) - (63)) не имеют
столь законченного вида, так как (25) соответствует лишь (21), а формула,
аналогичная (22;), отсутствует. Ряд Фурье, соответствующий (22i),
w = ?+ 2^ft(e)sinA:S
ftal
(28)
существует, однако его коэффициенты определяются с помощью новых
трансцендентных функций. Для Cm(z) справедлива
252 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
следующая формула:
-2д
_ , " Vl-Z2 Г COS (77Ш - Z771 sin и)
са(х)= ----------- \±-------------------- du, 29)
лт J 1 - z cos и
(|z|<l; m =
где квадратный корень равен +1 при z = 0. Функция Cm(z) переменной z
является четной и аналитической в круге |z| < 1, но не при z = 1. В то же
время функции (17i) -¦ (17г) - трансцендентные целые. Следовательно, ряд
(28) принадлежит к более сложному типу, чем какой-либо из рядов Фурье,
рассмотренный в § 278. Однако Cfc(z) могут быть выражены бесконечными
рядами по функциям Бесселя
2 z'nl Jh+n(kz)
Ch{z) = - 2--^=-, (М<1; * = 1,2,...). (30)
к [1 + У1- z2]1"'
п-- оаг 1 1 л
Действительно, если [ z | < 1 и
2
/ =
1 + У1 -z2 то *)
VI- Z2 1 -f
2
+оо
1 - z cos и 1 - 2/ cos и + Z2
- S/lnlcos""- (3i)
При |z| < 1 имеем |/| < 1. Подставляя (31) в (29) и используя (17),
приходим к (30).
Имея в виду доказательство (28) - (29), заметим сначала, что разность w -
? является в силу формул, приведенных в § 275, нечетной функцией ? с
периодом 2я. Поэтому ряд Фурье для w - ? и имеет вид (28), причем
1 231
Ch(e)= - $ (w - ?)sin
я о
или (после интегрирования по частям)
2л
лкСь(е) = ^ cos k?d(w - ?).
*) К этой формуле можно прийти, например, после дифференцирования по ф
тождества (37а), приведенного ниже.
§§ 274-2S4. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ 253
2л
Так как ^ cosA?d? = 0, то в силу (52) и (14з) о
2л 2Я ^
nkCh(e)- \ cos k^dw = \ cos АС du =
J J du
f " a(l-e*)'/s л
= \ cosA? ---------¦-du.
¦j o(l - ecosu)
Учитывая (73), придем к (29).
§ 280. Используя обозначение (9) § 265 для уравнения центра, можем
записать (28), (30) также в виде
е = w - С, (32i)
ОО
е = 2 Cfc(e)sinA?, (322)
fc=i 2 +°°
Ch(e)=- 2 /|п| Л+"(Ав), (32s)
п~-00
где через / = /(е) обозначена функция (1). В силу (322) -(32з)
оо -f-oo
:=as(a (зз)
А=1 оо
где/ 0, / = f(e) (см. 14)).
Дифференцируя (33) и (32j) по ?, получим в силу (14г) - (143) разложение
-g2 V1 7 е2 = 1 + 22(2' /а(Лв)/1^) cos А?. (34)
^ )l=l j=-оо
§ 281. Разложения трех аномалий и, w, ? = ra(f - t0) как функций друг
друга суть следующие.
Обращение ряда (28), соответствующее элементарному обращению (7з) ряда
(22j), приводит к формуле
" 1 -4- А (1 e2V/>
С = ы;+22----------( -1)*д~ fhsinkw' f = f(e) [см. (li)]; (35)
254 ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕД
Остальные две формулы для w - w(u), а = u(w) выводятся также элементарно
°° 4к
w = а + 2 2 ~т~ sin Аи, (36i)
ft=i к °° ( f\h
ц=гл + 22--------------sin kw. (З62)
h=i к
Ряды (35) - (З62) для ? - w, w - а принадлежат к одним из первых рядов
Фурье (Клеро, Даламбер, Эйлер) и их можно получить непосредственно
следующим образом.
Выделим в разложении
h-i
вещественную и мнимую части. Тогда получим, что
1 " Dft
5"lg(l ~ 2р cos ф + р2) = 2 -rcos (370
1 ft=-i к
о sin ib pft
arctg ---------------------- = 2 T sin (37z^
1 - p cos yb , к
* 1 k-i
где z - p exp ii|3, p = |z| < 1. Дифференцируя (37i) и полагая ф = гл, p
= / < 1 (см. (21)), а также учитывая (13i), придем к формуле
- -lg(l - 2/cos гл + Z2) = 2 2/ft sin А:гл. (38)
1 - е cos w dw . ,
я=1
Заменяя в этой формуле w на w + л и используя второе из соотношений (9),
получим в силу (7з), что
S§ 274-284. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ
255
и, следовательно,
? = ц+2(1-е2)'/"2 (-/)ftsinA;u;, (39)
откуда вытекает эквивалентность (35) и (Збг).
Вместе с тем (362) эквивалентно (36i). Действительно, (36i) совпадает с
(Збг) после замены и на w и / на -/, а (2) показывает, что / меняет знак
при замене е на -е. Однако (7Д при замене и на ш и е на -е не изменяется.
В соответствии со сказанным достаточно доказать (36i). Но нз (7j) имеем
w - и /sin и
tg тг~ = \---------,-----, (40)
2 1 - / cos и
поскольку в силу (li)
j yi + e - yi -е
yi + е + yi - в '
Дальнейшее сравнение (40) и (372) доказывает (36i), причем Р = /, -ф ==
и-
§ 282. Как следствие полученного выше результата, вытекают следующие
