Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
функции х = x(t) показывает, что в момент (пусть это будет момент t = 0)
столкновения последняя имеет особенность логарифмического типа, если h 0
и х = У8?, если h = 0. В первом случае функция х = x{t) не имеет в точке
t - 0 аналитического продолжения, а во втором случае не имеет
вещественного аналитического продолжения. Таким образом, хотя причины и
разные, но в обоих случаях результаты, изложенные в §§ 268-269,
несправедливы.
Имеется еще одно различие между ньютонианским случаем U(г) = г-1 и данным
U(г) =¦ г~2. А именно, при U = г-1 условие с = 0 является не
только достаточным, но в силу изложенного
в § 242 и необходимым для столкновения. Вместе с тем с по-
мощью (16г) - (163) § 214 легко обнаружить, что если U - г~2, то
столкновение может быть и при с ф 0 (см. также §§ 162, 374а).
§ 272. В параболическом случае (А = 0) получим при с ф 0, исходя из (9),
(16), (17), формулы
Р - "2 . 2 Цр) а
cos w = -j--, sm w = j- (24i)
p -f- u2 p -f- u2
w , 1 , w 2(t - t0) , , 4
tg b -tg3- =----------=-------. (242)
232 ip3
Кубическое уравнение (242) эквивалентно третьему из соотношений (20) и,
начиная со времени работы Галлея (1705), где рассматривалось движение
кометы, оно имеет важное значение при определении орбит.
В соответствии с (18) можно переписать (242) в виде
2 + -^Z3 ='5,
16*
244
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
где z = tg 2 • Следовательно, если рассматривать t как комплексную
переменную, то z = и / Ур - треханачная алгебраическая функция от t, =
n(t -10). Так как первая производная функции ? = ?(z) = z + V3Z3
обращается в нуль в точках z = ±i, где вторая производная отлична от
нуля, то в любой из этих двух конечных точек разветвления ? = ±i+ 7з(±?)3
= ±2/з* соединяются лишь два из трех листов римановой поверхности. Все
три листа этой поверхности соединяются при ? = оо. Так как функция z =
z(?) не имеет других конечных особых точек, то при любом фиксированном
вещественном ?, = n(t, - to) функция 2 =i и / Ур может быть разложена в
ряд по степеням (? - ?,) вдоль ветви, остающейся вещественной при
вещественном ? = п (t - t0). Радиус сходимости такого ряда равен
4-"-
=(1+4
Таким образом, хотя вещественных особых точек нет, но радиус сходимости
при любом ?. конечен и изменяется вместе с ?", достигая при ?, = 0
минимума, равного 2/з.
§ 273. Если А>0, то формулы (7), (8), (9), (16) содержат гиперболические
функции и поэтому они неудобны для вычислений. Этого неудобства можно
избежать путем такого преобразования этих формул, чтобы при вычислении
приходилось сталкиваться лишь с таблицами вещественных тригонометрических
функций и логарифмов. Для достижения этой цели достаточно лишь заменить
эксцентрическую аномалию и другой вещественной независимой переменной и =
и (и), называемой обычно углом Ламберта и определяемой по формуле
и , и te2-=th2-
Действительно, последнюю формулу можно переписать в виде
1 /
a = lgtg-(^u +
14
и, кроме того, из (17) следует, что и = sec u, sh и = tgu. Таким образом,
с одной стороны, переход от и к и = и (и) выполним лишь при использовании
тригонометрических и логарифмических таблиц, а с другой стороны, в
формулах (7), (8), (9), (16) при h > 0 уже не будет гиперболических
функций и.
§§ 274-284. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ 245
РАЗЛОЖЕНИЯ КООРДИНАТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 274. Здесь мы будем рассматривать лишь эллиптический случай (А < 0). В
некоторых местах будет необходимо исключать предельный случай е - \
периодических столкновений (§§ 268- 269) и тривиальный случай е = 0
кругового движения.
Полагая без потери общности (см. § 242), что с ^ 0, рассмотрим функции
эксцентриситета е
е j-/j - e2\'h
/ = /(е) = 1 + (1_е2)./а = - . (li)
е exp (1 - е2)|/а *-*<")= 1+р(\_е!),.- <*¦>
где квадратные корни считаются положительными. Если 0 ф е ф ф 1, то
0</(е)<е<?(е)< 1. (2)
Справедливость неравенства g(e) < 1 легко проверить, заметив, что
производная g'(e) по е положительна при 0 < е < 1, и, таким
образом, если 0 < е± < е2 < 1, то
0 = ?(0)<?(е1)<?(е2)<?(1)= 1. (3)
§ 275. В соответствии с формулами (9), (152) -(15з), (18) предыдущего
раздела получим, что
п - or*!*, (4t)
(?),=,, = 0, (4а)
(w)t=u = 0, (43)
(и) t=u = 0. (4i)
Формулы (7) - (8) запишутся в виде
x = a{cosu - е), у = а{ 1 - е2)1* sinu, (5i)
г = а(1 - ecos ц), (52)
а формулы (14) - (15i) в виде
х = rcos(ia + (a), у = rsin(u; + ш), (6i)
246
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
где согласно (16), (18), (20)
w (1 + е \1/2 и
^~2~ \Т-~ё ) tgT'
I =n(t - t0),
? = и - е sin и.
Используя (7i) и (17) § 264, придем к формулам
-e + cosn . (1 - е2)Va sin и
cos w
е cos и
sm w -
1 - е cos и
(70
(7*)
(7з)
(8)
Так как (7t) не изменяется при замене и на w и е на -е, то формулы,
представляющие собой обращение (8), следующие:
cos и =
е + cos w 1 + е cos w ' Из (7) также следует, что
(1 - е) '1з cos w 2
cos - =------------------------,
2 (1 - е cos и) 1а
sm к
(1 - е2) 'la sin w 1 + е cos w
и
W
(1 - e)1/asin-v ' 2
sin-
(9)
