Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Полагая
X = Hcosv + Hsinv, 'j
Y = (- H sinv + Hcosv)cos i + Zsin i, [ (32)
N**- Ец + Щ, i
увидим, что если X, Y, N - импульсы, канонически сопряженные с
координатами х, у, v, то Н, Н, Z - импульсы, сопряженные с координатами
т], t. Действительно, из формул (6) § 49 следует, что каноническое
расширение координатного преобразования (29) получается при
преобразовании 3-вектора (X, Y, N) в 3-вектор (S, Н, Z) с помощью матрицы
У'-1. Матрица же /' преобразовывает (Е, Н, Z) в (X, Y, N). Но из (30)
видно, что матрица преобразования (32) равна действительно Г.
Таким образом, формулы (29) и (32) определяют при любом фиксированном
значении i = const, удовлетворяющем условию (31i), полностью каноническое
преобразование (X, У, N, х, у, v) в (Е, Н, Z, ?, т], ?), если только
удовлетворяется условие (31г).
Имея в виду геометрическую интерпретацию преобразования (29), заметим,
что если ось х лежит в плоскости (?, ц) - см. рис. 1 (§ 78),- т. е. если
ш = 0, то формула (24) § 78 приводится к (23) § 78. Преобразовывая 3-
вектор (х, у, z) с помощью вращения (23) § 78 и полагая затем z = 0, мы и
придем к преобразованию (29). Таким образом, если материальная точка
движется в плоскости (х, у), то ось х лежит в плоскости (?, ц)
координатной системы (^, т), ?), a i равно "наклонности" плоскости (я, у)
по отношению к плоскости (?, ц); координата v ("узел") равна угловому
расстоянию оси х от оси | (см. рис. 1 § 78).
§ 225. Рассмотрим вместо (Hi) уравнения
r = fffi(r), ц"=Щ(г), V'=Ut(r), (33)
где г = (?2 + т]2 + ?2) %
Согласно изложенному в § 207, любая интегральная кривая этих уравнений
лежит в плоскости, проходящей через начало системы координат (?, г|, 5),
и вырождается в прямую линию, если только постоянные интегрирования (7±)
обращаются в нуль. Рассмотрим некоторую интегральную кривую, отличную от
прямой
§§ 206-220. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
199
линии, и примем ее плоскость за координатную плоскость (г, у). Тогда
координаты х, у будут связаны с координатами |, т], ? по формулам (29).
Поскольку v и i - параметры, не зависящие от t. дифференцируя (29),
придем к выражениям
?' = х' cos v - у' sin v cos i, t\' = x' sin v + y' cos v cos i,
?' = y' sin i. (34)
При этом будем предполагать, что условия (31i), (31г) выполняются.
Функция Гамильтона, соответствующая лагранжевым уравнениям (33), равна,
очевидно,
H=~{& + W + V)-U{r),
где Е = ?', Н = г]', Z = ?-' - импульсы, канонически сопряженные с
координатами ?, т], ?. Учитывая формулы (32), (34), (29), нетрудно
установить, что
X - х', Y - у', N = (-х'у + у'х) cos i.
Однако (-х'у + у'х) =с в силу (113). Следовательно, импульсы X, Y, N,
канойически сопряженные с координатами х, у, V, равны х', у', с cos i,
причем наклонность i постоянна (см. начало § 234). Кроме того, данное
каноническое преобразование оказывается полностью каноническим, поскольку
таким является преобразование, рассмотренное в § 224.
§ 226. Переход от уравнений (lli) к лагранжевым уравнениям, определяемым
функцией Лагранжа (12±), соответствует переходу от координат х, у и
импульсов X = х', Y = у' к координатам Ф, г и импульсам Ф = г2ф', R =¦
г7, рассмотренному в § 220. В соответствии с изложенным в § 49 такой
переход представляет собой полностью каноническое преобразование,
поскольку мы приходим к ф, г, Ф, R в результате канонического обобщения
преобразования (1). Вместе с тем можно заключить, что переход от Ф, R, ф,
г к (28) представляет собой каноническое преобразование с множителем р, =
1. Это вытекает из определения (см. § 104) канонической системы
постоянных интегрирования. Сопоставляя эти факты с результатами,
указанными в § 225, увидим, что переход от импульсов ?', ц', ?' и
координат ?, т], ? уравнений (33) к
Pi =К р2 ~ с, ра=с cos i, Qi - - to, Яг - со, q3 = v
(со = ф(*о), r/(to)= 0) (35)
200
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
представляет собой каноническое преобразование с множителем р = 1.
Величины pi, qi не зависят при этом от i в силу § 225. Следовательно,
формулы (35) определяют совокупность канонических постоянных
интегрирования для уравнений (33).
Этот результат был уже указан в начале § 224. Следует упомянуть, что
канонические постоянные интегрирования (35) могли бы быть получены
непосредственно на основании изложенного лишь в § 224 без использования
формул (34). Правда, такой непосредственный путь, хоть и более прозрачен,
но также и более длинный, чем тот, которым мы следовали в этом параграфе.
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 227. Консервативная динамическая системы с п = 2 степенями свободы не
является вообще "интегрируемой". Кроме того, лишь немногие из этих
неинтегрируемых систем подвергались детальному исследованию. Наконец,
вполне возможно, что эти анализировавшиеся неинтегрируемые системы
частного вида не отражают тех характерных трудностей, которые могут
возникать в "общем" случае п = 2.
Тем не менее "общая" проблема с п = 2 степенями свободы несомненно проще
