Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Оказывается, что эта проблема сводится к рассмотренной в § 206. При п - 2
этот факт очевиден (см. §§ 179 и 212). Поэтому достаточно показать, что
случай п > 2 может быть приведен к случаю п - 2.
С этой целью заметим, что если j, к - 1, ..., п, то в силу (6)
VXjXh Xj Хк) - XjXfi X^X, - XjUx. XkU x -
ft J
Ur
= (XjXh - XhXj)-- = 0.
Следовательно, существуют постоянные интегрирования Cjh такие, что
XjXh %kXj == Cjh, (71)
XjCjh -f XjCki ] XfiCjj 0, (72)
Cjh Chj (Cj, = 0), (7з)
причем (7г) и (7з) вытекают из (7i) при произвольных i, у, к (= 1, ...,
п).
Непосредственно подсчитывая постоянные, можем сделать с учетом значений
(7з) вывод, что совокупность линейных соотношений (72) определяет
единственную двумерную плоскость
П = П (ci2, ..., Сп-1, п), проходящую через начало координат n-мерного
пространства (х,), если только не все равны нулю.
Исключая пока этот случай и замечая, что соотношения (7j) представляют
собой интегралы уравнений (6), а (72) есть следствие этих интегралов,
придем на основании определения понятия интеграла (см. § 82) к выводу,
что интегральная кривая Xi = xi(t), соответствующая постоянным
интегрирования Cjk, лежит в неподвижной плоскости П. Поскольку уравнения
(6) инвариантны по отношению к повороту системы координат, можно выбрать
систему координат так, что плоскость (хц х2) совпадает с
§§ 206-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
185
плоскостью П. Тогда уравнения (6) имеют место для п = 2, а для i > 2 все
Xi (t) == 0.
Пусть теперь все сд = 0. Тогда из (7t) следует, что отношения Xj(t) /
Xh(t) не зависят от t при любых /, к, т. е. что решение Xi = Xi(t), i =
1, п, представляет прямую линию, проходящую через начало координат (xi) =
0. Следовательно, плоскость П существует и в этом случае, хотя она и не
определяется тогда единственным образом.
§ 208. В силу изложенного в § 207 каждая консервативная динамическая
система, имеющая радиальную симметрию и п > 2 степеней свободы, может
быть приведена при каждом фиксированном значении постоянной энергии к
задаче, рассмотренной в § 206 и решаемой в квадратурах.
Прежде всего заметим, что свойство радиальной симметрии динамической
системы с лагранжевой функцией (1) § 155 и с п степенями свободы
понимается в том смысле, что выражение (1) § 155 остается инвариантным
при произвольном повороте п-мер-ного евклидова пространства (д,) вокруг
начала координат, если координаты qi подобраны надлежащим образом. Из
этого требования, очевидно, вытекает, что в (1) § 155 (/j) == 0 (и
отсутствуют также в силу изложенного в § 156 члены вида (Ид,2)'), а
силовая функция U зависит лишь от (Sg*2)'/l. Таким образом, функция
УгИ^д/д,/ также обладает радиальной симметрией. Однако известно, что
риманово пространство с метрикой
обладающей радиальной симметрией, может быть отображено конформно на
евклидово пространство, т. е. что замена gi, ..., gn соответствующими
новыми координатами Х\, ..., хп дает
где g - соответствующий множитель пропорциональности. При этом g и
координаты ж,- могут быть определены явными квадратурами так, что g и
Sg,2 оказываются функциями лишь 2я*2 *). Следовательно, функцию Лагранжа
можно привести к виду
где gniU - функции лишь г =¦ (2а:"2),/j.
*) Этот факт часто используется в теории относительности, и он может Сыть
легко доказан прп рассмотрении геодезических линий, трансверсалт,-ных к
гиперповерхности - const,
ds2 - 2 gikdqt dqh,
ds2 = g 2 dxi1,
186 ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Наконец, имея в виду преобразование времени (14) § 180, можно
предположить без потери общности, что g = 1, т. е. что
? =42 *i'z+Спитак как уравнения (6) описывают динамическую систему именно
с подобной функцией Лагранжа, то доказательство можно считать
законченным.
§ 209. Предположение п > 2 в § 208 было необходимым, так как если п = 2,
то система с радиальной симметрией может не быть обратимой.
Действительно, рассмотрим систему
х" - 2 сор' = Ux, у" + 2со2:' = Uv,
где со и U - заданные функции (х, у), причем эта система обратима лишь
при ш = 0. В § 229 мы увидим, что функция Лагранжа для этой системы может
быть приведена после подстановки (1) к виду
L = -l;(r'z + rtp'!!) + r!f(r)<p'+[/(r), (81)
u(r)=jrfr И + f(r), (82)
если ш (х, у), U (х, у) - функции лишь г = (я2 -f- уг) 'Ь. Однако функция
(8i) обладает радиальной симметрией и в необратимом случае со (г) Ф 0,
поскольку ср является циклической координатой.
Из сказанного выше следует, что наряду с интегралом энергии существует
интеграл Lv> = c(=const) или ^(/(г) <р') = с.
§ 210. Пусть, в частности, f(r) s= 1, так что со (г) = 1. Тогда г2(1 +
ф') = с, т. е. г2^ = с, где ф = ? + ф- Кроме того, подставляя f(r) = 1,
ф' =¦ ф' - 1 в (81), получим, что
? = ^(r,2 + rV2)-brV + tf(r) (90
или
L = -(r'2 + rVs) + tf(r), (9.)
где TJ = U - '/гг2, причем_ (9i) и (92) эквивалентны друг другу п силу
соотношения ф = Ф - t (см. § 95). Так как функция (9г) обратимого и (9j)
необратимого типа, то отсюда следует, что свойство обратимости зависит от
