Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако функция (12) соответствует лагранжевой функции геодезического тина
(см. § 178) Z = Т - U = Т, а функция (111 со-
§§ 167-184. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
157
ответствует произвольной лагранжевой функции L = Т - U об-ратимого типа.
Вместе с тем (11) и (12) определяют одну и ту же функцию М. Поэтому
приходим к выводу, что если исключить интегральные кривые с точками
возврата и решения, вырождающиеся в точку равновесия, то остальные
решения обратимой динамической системы, соответствующие фиксированной
постоянной энергии h, эквивалентны геодезическим линиям в римановом
пространстве с метрикой
ds* = 2 Sftk dqi dqh = 2 (и + h) ds2, (13)
где
ds2 = 22 Sik dqi dqh.
§ 180. Если рассматривать только решения, соответствующие фиксированному
значению энергии h, то результат, изложенный в § 176, можно
интерпретировать как правило ввода в динамическую систему новой
независимой переменной. Такое правило можно получить также и более
непосредственно, если использовать уравнения в гамильтоновой форме.
Действительно, пусть G(x)-некоторая непрерывная, не обращающаяся в нуль
скалярная функция в 2/г-мерной области х, в которой рассматривается
консервативная гамильтонова система
1х' = Нх{х). (140)
Вдоль данного решения z_= x(t) этой системы определим новую независимую
переменную ? формулой
г-г<о= {¦"(*,.)) <G#0>- <14>
Если обозначить дифференцирование по ? точкой, то i = lit' = = G и х =
x'G. Рассмотрим теперь только те решения х = x(t) системы (14о), которые
соответствуют фиксированной постоянной энергии h, и определим
гамильтонову функцию Н по формуле
ff(x,h) = R = (-h + H)G, (15)
где Н = Н(х), G = G(x) Ф 0. Так как вдоль рассматриваемых интегральных
кривых х = x(t) имеем - h + Н - 0, h = const, то
#х = {-hx + Вх) G + 0 = HXG.
Из соотношений
х = x'G, Нх - HXG,
где G =/= 0, видно, что решения х - x(t) системы (14о), соответствующие
постоянной энергии h, эквивалентны решениям х = х (?)
158
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
системы
W = Нх, (15,)
для которых постоянная энергии равна h = О, если только учесть
преобразование времени (14) или его обращение
*
f ==*(?)= $G(*(p))di\ (16)
Эти решения системы (151)_удовлетворяют инвариантному для этой системы
соотношению Н = 0, поскольку и равенства Н = h и Н = 0 эквивалентны друг
другу в силу (15), где G = 0.
§ 181. Практическая ценность результатов, изложенных в предыдущем
параграфе, заключается в том, что переход от Н (х) к Н (х, h) может быть
выполнен без сложных вычислений независимо от выбора G (х).
Предположим, например, что система (14о) записана в скалярной форме
Pi - Нд (pi,..., Рп, 9i,..., Qn) ,
Qi - Hpi (P1' ¦ ¦ ¦ > P"' ¦ i Qn)
(17)
(i = 1,..., n)
и что в рассматриваемой 2п-мерной области (р, q) имеем Нр п (Р, о) Ф 0.
Тогда можно положить
G(x)=G(p, q)=--7-7.
Нрп (Р, Q)
и поскольку Нрп = qn' в силу (17), то независимая переменная Г,
определяемая (14), оказывается равной t - qn + const. Кроме того, в
предположении, что HVn(p,q) фО, можно разрешить уравнение
-h + Я(р" ... ,р", (r)i,..., qn) = 0
относительно рп в окрестности каждой точки (р,, qi) = - (PiU°), Qi(^°))
данной фазовой траекториир, = pi(t), qi = qi{t) с постоянной энергии h.
Мы получим
Рп = К(р,,..., рп-1, ?t,..., qn-1, ?п, Л),
где Я является при фиксированном h функцией 2п - 1 переменных, локально
однозначной и удовлетворяющей тем же самым условиям дифференцируемости,
что и Н(р, q).
§§ 167-184. ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ
159
Так как qn = t с точностью до аддитивной произвольной постоянной (которую
положим равной нулю), то, учитывая формулы предыдущего параграфа и
правило определения функции К, придем к следующему выводу: те решения
консервативной системы
с п степенями_свободы, которые удовлетворяют инвариантному соотношению
Н(р, q, h) = 0 (см. § 180), будут тождественны таким решениям
неконсервативной системы с п - 1 степенями свободы
которые являются неограниченно продолжаемыми. Поэтому на основании
изложенного в § 180 следует, что решения Pi = Pi(t), 4i - ?i(0 уравнений
(17), соответствующие постоянной энергии А, совпадают, если положить t -
qn, с решениями Pi = Pj(i)> qj = qi(t), j - 1, . . . , n - 1, уравнений
(18).
Разумеется, переход от (17) к (18) носит локальный характер, так как при
построении функции К используется локальная теорема существования неявных
функций. Добавим также, что можно было бы ввести переменную t = qn и с
помощью правила, изложенного в § 175.
Очевидно, что условие HVn (p,q) ф 0 можно заменить любым из 2п условий
ffPi(p, q) Ф 0, HQi(p, q) ф 0, i = 1,..., п, и тогда t окажется равным qi
или pi соответственно.
Заметим, что по крайней мере одно из этих 2п условий удовлетворяется в
окрестности любого решения х = x(t) системы (14о), отличного от
равновесного решения x(t) - const.
§ 182. Описанный выше переход от системы с п степенями свободы к системе
с п - 1 степенями свободы в случае фиксированного значения постоянной
энергии h можно рассматривать в силу изложенного в § 93 или §¦ 9а как
